用C++实现以下功能：给你一个数S,选取和不超过S的若干个不同的正整数，使得所有数的约数（不含它本身）之和最大,输出这个和

### 回答1：
可以先将所有小于等于 S 的数都列出来，然后按照每个数的约数之和从大到小排序。接着，从大到小遍历每个数，如果当前选择的数的和加上这个数小于等于 S，就将这个数加入答案。最后输出所有选择的数的和即可。

下面是一个示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAXN 1000000

// 结构体数组，用于记录每个数的约数之和和数值
struct Node {
  int sum, value;
} nodes[MAXN + 1];

// 比较函数，用于将数组按照约数之和从大到小排序
int cmp(const void *a, const void *b) {
  return ((struct Node *)b)->sum - ((struct Node *)a)->sum;
}

int main() {
  int S, i;
  long long sum = 0;  // 记录所有选择的数的和
  scanf("%d", &S);

  // 预处理出每个数的约数之和
  for (i = 1; i <= S; i++) {
    for (int j = i * 2; j <= S; j += i) {
      nodes[j].sum += i;
    }
    nodes[i].value = i;
  }

  // 将数组按照约数之和从大到小排序
  qsort(nodes + 1, S, sizeof(struct Node), cmp);

  // 遍历数组，选取所有和不超过 S 的数
  for (i = 1; i <= S; i++) {
    if (sum + nodes[i].value <= S) {
      sum += nodes[i].value;
    } else {
      break;
    }
  }

  printf("%lld\n", sum);  // 输出答案

  return 0;
}

### 回答2：
首先，我们可以观察到，一个数的约数中不超过其平方根的约数和大于其平方根后的约数和。因此，在选择正整数时，我们应该尽量选择比较小的数。

接下来，我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。首先创建一个数组dp，用来存储和不超过i的所有正整数的约数和最大值，即dp[i]表示和不超过i的所有正整数的约数和最大值。然后，我们逐个计算dp[i]的值。

对于dp[i]的计算，我们可以通过遍历所有小于i的平方根的正整数j来得到。对于每一个j，如果j是i的约数（即i % j == 0），则i/j也是i的约数。所以，我们可以根据dp[i-j]来计算dp[i]的值。具体而言，dp[i] = max(dp[i], dp[i-j] + i/j)。其中max函数表示取两个数中的较大值。

最后，我们遍历完所有小于等于S的数，dp[S]就是所求的和不超过S的所有正整数的约数和最大值。返回dp[S]即可。

下面是用C语言实现该功能的代码：

#include <stdio.h>

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int maxDivisorSum(int S) {
    int dp[1000] = {0};
    
    for (int i = 1; i <= S; i++) {
        for (int j = 1; j*j <= i; j++) {
            if (i % j == 0) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[i-j] + i/j);
            }
        }
    }
    
    return dp[S];
}

int main() {
    int S;
    printf("请输入一个数S：");
    scanf("%d", &S);
    
    int result = maxDivisorSum(S);
    printf("和不超过%d的所有正整数的约数和最大值是：%d\n", S, result);
    
    return 0;
}

希望以上解答能帮助到您。

### 回答3：
首先，我们可以通过遍历1到S，找出S的所有约数。然后，我们可以利用动态规划的思想来解决这个问题。

设dp(i)为选择和不超过i的若干个不同的正整数，使得所有数的约数之和最大。则dp(i)的值可以通过以下递推关系得到：

dp(i) = max(dp(i), dp(i - j) + σ(j))
其中，j为1到i的所有约数，σ(j)表示j的所有约数（不含它本身）之和。

具体的实现可以参考以下代码：

#include <stdio.h>

int maxDivisorSum(int S) {
    int dp[S + 1];
    memset(dp, 0, sizeof(dp)); // 初始化dp数组为0

    for (int i = 1; i <= S; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            if (i % j == 0) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[i - j] + j);
            }
        }
    }

    return dp[S];
}

int main() {
    int S;
    printf("请输入一个整数S：");
    scanf("%d", &S);
    printf("和的最大约数之和为：%d\n", maxDivisorSum(S));
    return 0;
}

该算法的时间复杂度为O(S^2)，空间复杂度为O(S)。通过遍历1到S，找出所有数的约数之和，最后输出最大的约数之和。