欧拉角旋转矩阵四元数

### 欧拉角、旋转矩阵和四元数的关系

欧拉角、旋转矩阵以及四元数都是用来描述三维空间中的旋转的不同方式。每种表示方法都有各自的优点，在不同的应用场景中有特定的选择。

#### 欧拉角到旋转矩阵的转换

当给定一组按照一定顺序（比如Z-X-Z, X-Y'-X''等）定义的三个角度θx, θy 和 θz作为欧拉角时，可以构建相应的旋转矩阵R：

\[ R = R_z(\theta_z) \cdot R_y(\theta_y) \cdot R_x(\theta_x)\]

其中\(R_x\), \(R_y\) 和 \(R_z\)分别代表绕着各自轴线的角度旋转变换[^2]。

对于具体的计算过程来说，如果已知某物体相对于固定参照系的姿态由这三个连续转动组成，则可通过上述公式得到该姿态所对应的旋转矩阵形式。

#### 四元数与旋转矩阵间的相互转化

四元数q=(w,x,y,z)，这里w是实部而(x,y,z)构成虚部向量v；它同样能够表达一个刚体在三维空间内的定向状态。从四元数转成标准3×3阶正交阵(即旋转矩阵):

\[
R=\begin{bmatrix}
1-2(y^{2}+z^{2}) & 2(xy-wz) & 2(xz+wy) \\
2(xy+wz) & 1-2(x^{2}+z^{2})& 2(yz-wx)\\
2(xz-wy) & 2(yz+wx) & 1-2(x^{2}+y^{2})
\end{bmatrix}
\]

反之亦然，可以从任意有效的旋转矩阵推导出唯一的单位长度四元数来表示相同的旋转操作[^4]。

#### 使用Eigen库实现转换

以C++编程环境为例，利用流行的线性代数模板库——Eigen，可以直接调用内置函数完成这些变换工作。例如要将四元数对象`Quaterniond q(w,x,y,z)`转化为旋转矩阵:

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main(){
    Quaterniond q(0.7071, 0, 0.7071, 0); // 定义一个四元数
    
    Matrix3d m;
    m=q.toRotationMatrix();              // 将其转换为旋转矩阵m
}

以上就是关于如何理解并处理这三种常用的空间旋转表述之间联系的主要内容。