证明：如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解

证明如下：

设标准形式的线性规划为：

$\max\{c^Tx\}$

$s.t.$

$Ax=b$

$x\geq0$

其对偶规划为：

$\min\{b^Ty\}$

$s.t.$

$A^Ty\geq c$

$y\geq0$

首先假设标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，即存在一个基可行解$x$，使得$x\geq0$，且不存在任何非基变量为0的情况。

考虑对偶规划，由于$x$是一个基可行解，因此$x$对应的基$B$是满秩的，即$A_B$可逆。此时，由于$A_Bx_B=b$，可以得到$x_B=A_B^{-1}b$，且$x_N=0$。同时，将$x$代入对偶规划的约束条件，得到$A_B^Ty\geq c_B$，$A_N^Ty=c_N$，其中$c_B$和$c_N$分别为$c$向量中对应基变量和非基变量的系数。

由于$A_B$是可逆的，因此我们可以将$A_B^Ty\geq c_B$转化为$y\geq A_B^{-T}c_B$。此时，对于任何非基变量$i\in N$，有$c_i-c_B^TA_B^{-T}A_{i}\geq0$，即$c_i-\bar{c}_i\geq0$，其中$\bar{c}_i=c_B^TA_B^{-T}A_i$为第$i$个非基变量的约简成本。这是因为，由于$x_B=A_B^{-1}b$，我们可以得到$c^Tx=c_B^Tx_B+c_N^Tx_N=c_B^TA_B^{-1}b+c_N^Tx_N=\bar{c}_B^Tx_B+c_N^Tx_N$，其中$\bar{c}_B=A_B^{-T}c_B$为基变量的约简成本。因此，如果$c_i-c_B^TA_B^{-T}A_{i}<0$，则$c^Tx$可以通过增加$x_i$的值来增加，这与$x$是最优解矛盾。

综上所述，我们可以得到一个对偶可行解$y=A_B^{-T}c_B$，且$y\geq A_B^{-T}c_B$，$y\geq0$。由于$y$是对偶可行解，因此对偶规划的最优解必然存在。同时，由于$c_i-c_B^TA_B^{-T}A_{i}\geq0$，则$c^Tx=\bar{c}_B^Tx_B+c_N^Tx_N\leq y^Tb$，即$x$是最优解。此时，由于$x$是非退化的，因此只能有一个最优解。因此，对偶规划的最优解必须是唯一的。