证明：如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一 最优解

要证明这个结论，需要使用线性规划的对偶理论。

首先，根据线性规划的对偶理论，原始问题的最优解等于对偶问题的最优解。

其次，如果原始问题存在非退化的最优基可行解，那么这个最优解对应的基本变量都是非零的。因此，对偶问题的约束条件中，与这些基本变量对应的对偶变量都是非零的。这意味着对偶问题存在一个基本可行解，其中所有基本变量都是非零的。

因此，根据对偶理论，对偶问题存在最优解，并且这个最优解是唯一的。因此，如果原始问题存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解。

相关问题

证明：如果标准形式的线性规划存在非退化的最优基可行解，其对偶规划必有唯一最优解

首先，我们需要了解什么是线性规划和对偶规划。

线性规划（LP）是一种数学优化问题，其目标是最小化或最大化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。标准形式的LP可以表示为：

最小化：
c^T x

限制条件：
Ax = b
x >= 0

其中，c和x是向量，A是矩阵，b是向量。

对偶规划（DP）是LP的另一种形式，它也是一种数学优化问题。对偶规划的目标是最小化或最大化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。对偶规划可以由原始问题的转换得到，其目的是找到原始问题的最优解。

现在假设标准形式的LP存在一个非退化的最优基可行解，我们需要证明对偶规划必须有唯一最优解。

根据线性规划的对偶理论，对偶规划的最优解可以通过以下方式计算：

最小化：
b^T y

限制条件：
A^T y >= c
y >= 0

其中，y是向量。

根据最优基可行解的定义，我们可以得出以下结论：

- 原始问题的最优解可以表示为基解中的某个顶点。
- 对偶问题的最优解可以表示为基解中的某个顶点。

由于我们已经知道原始问题具有非退化的最优基可行解，因此我们可以得出以下结论：

- 原始问题的最优解是唯一的。
- 原始问题的最优解可以表示为基解中的某个顶点。
- 对偶问题的最优解可以表示为基解中的某个顶点。

由于对偶问题的最优解必须满足以下两个条件：

- 它可以表示为基解中的某个顶点。
- 它是满足所有约束条件的顶点中的最小值。

因此，我们可以得出结论：对偶问题必须有唯一最优解。

如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，则其对偶规划必有唯一最优解。

这个结论是正确的。具体来说，如果标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，那么根据互补松弛条件，对偶 LP 的最优解必须满足下列两个条件：

1. 对于任意的基可行解 $x$ 和对应的基 $B$，都有 $c^T x \leq z^T b$，其中 $z$ 是对偶 LP 的最优解。

2. 对于任意的最优解 $z$，都存在某个基 $B$，使得 $c^T x = z^T b$ 对于所有基可行解 $x$ 都成立。

由于标准形式的 LP 存在非退化的最优基可行解，所以对偶 LP 的最优解 $z$ 存在。另一方面，由于非退化的最优基可行解存在，所以存在某个基 $B$ 使得 $c^T x = z^T b$ 对于所有基可行解 $x$ 都成立。因此，根据第二个条件，对偶 LP 的最优解必须唯一。