假设G是一个CFG,并且它的任何一个产生方式右边都不是ε。如果w在L(G)中,w的长度是n,我由一个m步完成的推导,证明w欧有一个包含n+m个节点的树
时间: 2024-06-12 10:04:10 浏览: 10
证明:
由于G是一个CFG,它可以被表示为一个四元组G=(V,Σ,R,S),其中V是非终结符的集合,Σ是终结符的集合,R是产生式规则的集合,S是开始符号。由于G的任何一个产生方式右边都不是ε,因此可以假设G的任何一个产生式都至少包含一个非终结符。
给定一个长度为n的字符串w∈L(G),可以通过一个m步的推导生成它。这意味着存在一个推导树T,它的根节点是S,它有n个叶子节点,每个叶子节点对应于w中的一个字符,且T有m个节点。
我们将证明T中存在一个子树,它包含n个叶子节点和m个节点。具体地,我们将证明,对于T中的任何节点v,它的子树中至少存在一个叶子节点,该叶子节点对应于w中的一个字符。这意味着,将所有这样的叶子节点组合起来,我们可以得到一个包含n个叶子节点和m个节点的树。
我们使用数学归纳法证明这一点。对于T的根节点S,它的子树中显然存在一个叶子节点,该叶子节点对应于w的第一个字符。因此,基本情况成立。
现在,假设对于T中的任何节点v,它的子树中至少存在一个叶子节点,该叶子节点对应于w中的一个字符。我们考虑节点v的所有子节点。如果v是一个叶子节点,那么它本身就是一个叶子节点,对应于w中的一个字符。否则,v必须至少有一个子节点u,其中u的子树中存在一个叶子节点,该叶子节点对应于w中的一个字符。我们选择这样的u中的一个,并将它称为“好”的子节点。
现在,我们考虑v的所有其它子节点。对于每个这样的子节点x,如果x是一个叶子节点,那么它本身就是一个叶子节点,对应于w中的一个字符。否则,x必须至少有一个子节点y,其中y的子树中存在一个叶子节点,该叶子节点对应于w中的一个字符。我们选择这样的y中的一个,并将它称为“好”的子节点。
现在,我们将所有这样的“好”子节点组合起来,得到一个包含n个叶子节点和m个节点的子树。这是因为,每个“好”子节点对应于w中的一个字符,且该子节点的子树中的所有其他叶子节点都对应于w中的一个字符。此外,每个“好”子节点都是v的子节点,因此,该子树中包含v及其所有子节点。
由于我们可以在T中的任何节点上执行此过程,因此,T中必须存在一个包含n个叶子节点和m个节点的子树。因此,我们已经证明了结论。