1-1 齐次线性方程组解的结构：验证其解集是一个向量空间；非齐次线性方 程组有解的充分必要条件；非齐次线性方程组在有解的前提下：如何求解、其解 集与对应的齐次线性方程组解集之间的关系；

1. 解集是一个向量空间：

对于齐次线性方程组 $Ax=0$，它的解向量构成一个向量空间，记作 $V$，满足以下性质：

（1）加法封闭性：若 $x,y\in V$，则 $x+y\in V$。

（2）数乘封闭性：若 $x\in V$，$\lambda\in\mathbb{R}$，则 $\lambda x\in V$。

（3）加法交换律：若 $x,y\in V$，则 $x+y=y+x$。

（4）加法结合律：若 $x,y,z\in V$，则 $(x+y)+z=x+(y+z)$。

（5）加法有单位元：存在 $0\in V$，使得对于任意 $x\in V$，有 $x+0=x$。

（6）加法有逆元：对于任意 $x\in V$，存在 $-x\in V$，使得 $x+(-x)=0$。

2. 非齐次线性方程组有解的充分必要条件：

对于非齐次线性方程组 $Ax=b$，它有解的充分必要条件是 $b$ 可以表示为 $A$ 的列向量的线性组合，即 $b\in$ $A$ 的列向量生成的向量空间 $W$。

3. 非齐次线性方程组在有解的前提下：如何求解、其解集与对应的齐次线性方程组解集之间的关系：

（1）求特解：找到一个特解 $x_0$，使得 $Ax_0=b$。

（2）求齐次线性方程组的通解：解齐次线性方程组 $Ax=0$，得到它的通解 $x_h$。

（3）求非齐次线性方程组的解集：非齐次线性方程组的解集为 $x_0+x_h$，其中 $x_0$ 是特解，$x_h$ 是齐次线性方程组的通解。

（4）解集的性质：

① 解集是一个向量空间；

② 解集中的任意两个解的差是齐次线性方程组的解；

③ 解集中的任意两个解的和是非齐次线性方程组的解。