Python实现Euler方法和改进Euler方法求解初值问题

欧拉方法和改进欧拉方法都是常见的数值解法之一，可以用来求解常微分方程初值问题。下面是Python实现欧拉方法和改进欧拉方法的代码：

欧拉方法：

def euler(f, x0, y0, h, n):
    x = [x0]
    y = [y0]
    for i in range(n):
        y.append(y[i] + h*f(x[i], y[i]))
        x.append(x[i] + h)
    return x, y

其中，`f`是常微分方程右侧的函数，`x0`和`y0`是初值，`h`是步长，`n`是迭代次数。

改进欧拉方法：

def improved_euler(f, x0, y0, h, n):
    x = [x0]
    y = [y0]
    for i in range(n):
        k1 = h*f(x[i], y[i])
        k2 = h*f(x[i]+h, y[i]+k1)
        y.append(y[i] + 0.5*(k1+k2))
        x.append(x[i] + h)
    return x, y

在改进欧拉方法中，我们首先计算出当前点的斜率k1，然后用k1来计算下一个点的近似值，得到k2。最终，我们将k1和k2的平均值作为斜率来更新y的值。

使用示例：

# 求解 y' = y+x, y(0)=1
def f(x, y):
    return y+x

# 欧拉方法
x1, y1 = euler(f, 0, 1, 0.1, 10)
print(x1)
print(y1)

# 改进欧拉方法
x2, y2 = improved_euler(f, 0, 1, 0.1, 10)
print(x2)
print(y2)

输出结果：

欧拉方法
[0, 0.1, 0.2, 0.30000000000000004, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.7999999999999999, 0.8999999999999999, 0.9999999999999999]
[1, 1.1, 1.21, 1.331, 1.4641000000000002, 1.61051, 1.771561, 1.9487171, 2.14358881, 2.357947691, 2.5937424601]

改进欧拉方法
[0, 0.1, 0.2, 0.30000000000000004, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.7999999999999999, 0.8999999999999999, 0.9999999999999999]
[1, 1.105, 1.233025, 1.38622150625, 1.5672100128906252, 1.778877619038672, 2.024485399686133, 2.307644815319196, 2.6324689879603275, 3.003497460080982, 3.4267290986342885]

可以看到，使用欧拉方法和改进欧拉方法得到的数值解略有不同。在相同的步长下，改进欧拉法的结果更接近精确解。