常微分方程初值问题例题并用Python求解

常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）描述的是变量随时间变化的连续规则，其初值问题通常涉及给定一个初始条件下的方程组。例如，考虑简单的一阶线性常微分方程：

\[ \frac{dy}{dt} = ky + p \]

其中 \( y(t) \) 是未知函数，\( k \) 和 \( p \) 是已知系数，\( t \) 表示时间。

一个典型的初值问题是：
\[ y(0) = y_0 \]

假设我们想要解决这个方程，对于给定的时间点 \( t_0 \) 和初始值 \( y_0 \)，我们可以采用数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等来近似计算解。这里以Python的`scipy.integrate`模块为例，用Euler方法求解。

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np

# 定义常微分方程的右端
def dy_dt(y, t, k, p):
    return k * y + p

# 给定参数
k = 2
p = -1
y0 = 1
t0 = 0
tf = 10   # 我们想解到的时间范围
h = 0.1   # 步长

# 计算步数
n_steps = int((tf - t0) / h)

# 初始化时间数组
t_values = np.linspace(t0, tf, n_steps + 1)

# 使用odeint求解
solution = odeint(dy_dt, y0, t_values, args=(k, p))

# 输出结果
print(f"解为: {solution[:, 0]}")