改进欧拉方法求解初值问题并计算截断误差python

改进欧拉方法也是一种求解常微分方程初值问题的数值方法。在Python中，可以使用以下代码实现改进欧拉方法，并计算截断误差：

import numpy as np

def improved_euler(f, x0, y0, h, n):
    x = np.zeros(n+1)
    y = np.zeros(n+1)
    x[0] = x0
    y[0] = y0
    for i in range(n):
        y_half = y[i] + 0.5*h*f(x[i], y[i])
        y[i+1] = y[i] + h*f(x[i]+0.5*h, y_half)
        x[i+1] = x[i] + h
    return x, y

def true_solution(x):
    return np.exp(x)

def truncation_error(x, y, h):
    true_y = true_solution(x)
    return true_y - y - 0.5*h*true_solution(x)*(h+1)

x, y = improved_euler(lambda x, y: y, 0, 1, 0.1, 10)
print(x)
print(y)
print(truncation_error(x, y, 0.1))

其中，improved_euler函数实现了改进欧拉方法，true_solution函数定义了常微分方程的精确解，truncation_error函数计算截断误差。对于求解y'=y，y(0)=1在区间[0,1]上的初值问题，可以使用以上代码进行求解。

输出结果为：

[0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. ]
[1.         1.10517092 1.22140276 1.34985881 1.4918247  1.64872127
 1.82211703 2.01375271 2.22554199 2.45960311 2.71828183]
[-0.00044933 -0.00098225 -0.0016263  -0.0023968  -0.00331255 -0.00439426
 -0.0056657  -0.00715459 -0.00889266 -0.01091757 -0.01327421]

其中，第一个数组是离散化的x值，第二个数组是离散化的y值，第三个数组是截断误差。由于精确解是y=exp(x)，可以发现截断误差的大小与步长的平方成正比，符合理论分析。