2yy'-(y^2)/x=-x解微分方程,使用伯努利公式法求解
时间: 2023-11-21 19:04:33 浏览: 37
首先将方程变形为标准形式:
$$
y' - \frac{1}{2}\cdot\frac{y^2}{xy}=-\frac{1}{2}x
$$
然后令$z=y^{-1}$,则有$z'=-\frac{1}{y^2}y'$,带入原方程得到:
$$
-\frac{1}{z}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}x
$$
移项化简可得:
$$
z'+\frac{1}{x}z=-x
$$
这是一个一阶线性微分方程,可以使用伯努利公式法求解。首先将方程变形为标准形式:
$$
z'+\frac{1}{x}z=-x
$$
然后令$p(x)=\frac{1}{x}$,$q(x)=-x$,$n=-1$,则有:
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(z\cdot x^{-1}\right)=-x^{-2}z-x^{-1}\cdot x^{-n}q(x)
$$
即:
$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(z\cdot x^{-1}\right)+xz=-x^{-1}
$$
再令$v=z\cdot x^{-1}$,则有:
$$
v'+xv=-x^{-1}
$$
这是一个一阶线性非齐次微分方程,可以使用常数变易法求解。首先求出其齐次方程的通解:
$$
v'+xv=0
$$
其特征方程为$\lambda+x=0$,解得$\lambda=-x$,因此齐次方程的通解为$v=cx^{-1}$(其中$c$为任意常数)。
接下来求非齐次方程的一个特解。根据非齐次项形式,猜测一个特解为$v=-\frac{1}{2}$,带入方程得到:
$$
-\frac{1}{2}'x-\frac{1}{2}=-x^{-1}
$$
即$\frac{1}{2x}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{x}$,解得$\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}$,即$x=1$时有特解$v=-\frac{1}{2}$。
因此非齐次方程的通解为$v=cx^{-1}-\frac{1}{2}$,即$z=y^{-1}=cx+\frac{1}{2}y$,其中$c$为任意常数。
综上所述,原微分方程的通解为$y=-\frac{2}{cx+1}$。
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