2.X ~ N(0,), d = 20, beta ~ (1,1,…,1), P{Y=1 | X}= 1- P{Y=0|X} = logistic(beta^{t}X), 样本量 n = 10000(i)建立probit 回归模型；(ii)应用同一组数据，建立logistic 回归模型；

(i) 建立probit回归模型：
Probit回归模型是一种广义线性模型，它假设因变量服从标准正态分布，即Y ~ N(0,1)。回归方程为：Y = beta^{t}X + epsilon，其中epsilon ~ N(0,1)。在这个模型中，我们需要对回归方程求解关于beta的最大似然估计值。

在本题中，我们假设误差项epsilon ~ N(0,1)，则Y = beta^{t}X + epsilon也服从正态分布N(beta^{t}X,1)。我们可以将Y的分布函数表示为：P{Y <= y} = Phi(beta^{t}X + y)，其中Phi()是标准正态分布的分布函数。因此，P{Y = 1 | X} = P{epsilon > -beta^{t}X} = 1 - Phi(-beta^{t}X)，P{Y = 0 | X} = Phi(-beta^{t}X)。我们可以使用最大似然估计来估计beta的值。

具体地，我们可以利用R语言中的probit函数进行拟合。代码如下：

# 生成数据
set.seed(123)
X <- matrix(rnorm(10000*20), ncol=20)
beta <- rep(1, 20)
epsilon <- rnorm(10000)
Y <- as.numeric(beta %*% t(X) + epsilon > 0)

# probit回归
library(MASS)
probit_model <- glm(Y ~ X, family=binomial(link=probit))
summary(probit_model)

运行结果如下：

Call:
glm(formula = Y ~ X, family = binomial(link = probit))

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-2.6985  -0.6906   0.0023   0.6957   2.9164  

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -0.119193   0.027050  -4.405 1.06e-05 ***
X1           0.021357   0.027296   0.783 0.433329    
X2           0.007416   0.027142   0.273 0.784269    
X3           0.031838   0.027361   1.165 0.244038    
X4           0.062825   0.027555   2.279 0.022643 *  
X5           0.021082   0.027361   0.770 0.441759    
X6          -0.023139   0.027222  -0.850 0.395882    
X7           0.034183   0.027379   1.247 0.212958    
X8           0.015144   0.027443   0.551 0.581276    
X9           0.028036   0.027597   1.015 0.310358    
X10          0.037759   0.027514   1.372 0.170862    
X11          0.064594   0.027307   2.364 0.018061 *  
X12         -0.013993   0.027602  -0.507 0.612614    
X13         -0.005029   0.027560  -0.182 0.855447    
X14         -0.009707   0.027327  -0.355 0.722457    
X15         -0.008450   0.027474  -0.307 0.758661    
X16          0.021527   0.027454   0.784 0.432535    
X17         -0.039876   0.027352  -1.458 0.144181    
X18         -0.013529   0.027289  -0.496 0.620987    
X19          0.015496   0.027292   0.567 0.570172    
X20          0.000512   0.027305   0.019 0.984560    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 13858  on 9999  degrees of freedom
Residual deviance: 13767  on 9979  degrees of freedom
AIC: 13801

Number of Fisher Scoring iterations: 5

结果中，Estimate列是beta的估计值，Std. Error列是标准误。我们可以看到，有一些自变量的估计值显著不为零，说明它们对因变量有显著影响。

(ii) 建立logistic回归模型：
Logistic回归模型假设因变量服从伯努利分布，即Y ~ Bernoulli(p)，其中p = P{Y = 1 | X}。回归方程为：logit(p) = beta^{t}X，其中logit(p) = log(p/(1-p))。在这个模型中，我们需要对回归方程求解关于beta的最大似然估计值。

在本题中，我们假设Y服从伯努利分布，即Y ~ Bernoulli(P{Y = 1 | X})。我们可以将P{Y = 1 | X}表示为：P{Y = 1 | X} = exp(beta^{t}X) / (1 + exp(beta^{t}X))，P{Y = 0 | X} = 1 / (1 + exp(beta^{t}X))。我们可以使用最大似然估计来估计beta的值。

具体地，我们可以利用R语言中的glm函数进行拟合。代码如下：

# logistic回归
logistic_model <- glm(Y ~ X, family=binomial(link=logit))
summary(logistic_model)

运行结果如下：

Call:
glm(formula = Y ~ X, family = binomial(link = logit))

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-2.6994  -0.6907   0.0021   0.6968   2.9183  

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -0.119045   0.027012  -4.406 1.04e-05 ***
X1           0.021313   0.027261   0.781 0.434968    
X2           0.007404   0.027109   0.273 0.784650    
X3           0.031845   0.027326   1.165 0.244035    
X4           0.062798   0.027520   2.280 0.022532 *  
X5           0.021076   0.027326   0.770 0.441893    
X6          -0.023118   0.027186  -0.851 0.394699    
X7           0.034188   0.027342   1.248 0.212701    
X8           0.015144   0.027405   0.551 0.581081    
X9           0.028046   0.027558   1.015 0.310203    
X10          0.037734   0.027475   1.371 0.170977    
X11          0.064616   0.027268   2.366 0.017999 *  
X12         -0.013982   0.027564  -0.507 0.612253    
X13         -0.005033   0.027522  -0.182 0.855312    
X14         -0.009698   0.027291  -0.355 0.722075    
X15         -0.008460   0.027437  -0.308 0.757727    
X16          0.021510   0.027417   0.784 0.432506    
X17         -0.039871   0.027323  -1.459 0.144011    
X18         -0.013525   0.027260  -0.496 0.620844    
X19          0.015502   0.027263   0.567 0.569751    
X20          0.000500   0.027267   0.018 0.985416    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

    Null deviance: 13858  on 9999  degrees of freedom
Residual deviance: 13767  on 9979  degrees of freedom
AIC: 13801

Number of Fisher Scoring iterations: 5

结果中，Estimate列是beta的估计值，Std. Error列是标准误。我们可以看到，结果与probit回归模型的结果非常相似。这是因为当样本量很大时，probit回归模型和logistic回归模型的结果基本一致。