用四阶米尔恩法求解区间[a,b]的常微分初值问题(柯西问题) f epsilon a y(a) b f 是方程数,方程的形式为 y'=f(x,y)。 通过 get_function输入编号获取函数。 应该自己定义并且重新计算步长h。 提示:四阶米尔恩法求解柯西问题需要设定多于1个起始点。所以,需要通过其他几种方法来计算其他三个起始点。你需要自己选择方法来计算起始点。初始值数集会影响最后结果。 应该计算并返回差异不大于epsilon的y(b)。用python写出程序实现以上功能
时间: 2023-06-24 08:03:08 浏览: 43
以下是使用四阶米尔恩法求解常微分初值问题的代码实现:
```python
import numpy as np
def milne_method(f, a, b, y0, h, eps):
"""
使用四阶米尔恩法求解常微分初值问题
:param f: 函数 f(x,y),y' = f(x,y)
:param a: 区间左端点
:param b: 区间右端点
:param y0: 初始值
:param h: 步长
:param eps: 差异阈值
:return: 差异不大于 eps 的 y(b)
"""
# 计算所需的初始值
x = np.arange(a, b + h, h)
n = len(x)
y = np.zeros(n)
y[0] = y0
for i in range(1, 4):
k1 = h * f(x[i - 1], y[i - 1])
k2 = h * f(x[i - 1] + h / 2, y[i - 1] + k1 / 2)
k3 = h * f(x[i - 1] + h / 2, y[i - 1] + k2 / 2)
k4 = h * f(x[i - 1] + h, y[i - 1] + k3)
y[i] = y[i - 1] + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
# 使用四阶米尔恩法求解
for i in range(3, n - 1):
y_pred = y[i - 3] + 4 / 3 * h * (2 * f(x[i - 2], y[i - 2])
- f(x[i - 1], y[i - 1])
+ 2 * f(x[i], y[i]))
y_corrected = y[i - 1] + h / 3 * (f(x[i - 1], y[i - 1])
+ 4 * f(x[i], y[i])
+ f(x[i + 1], y_pred))
# 计算当前步长对应的误差
err = np.abs(y_corrected - y[i])
# 如果误差小于阈值,则认为已经求得满足要求的解
if err <= eps:
return y[i + 1]
# 否则根据误差调整步长
else:
h = h * 0.9 * (eps / err) ** 0.25
x = np.arange(a, b + h, h)
n = len(x)
y_new = np.zeros(n)
y_new[:i+1] = y[:i+1]
y = y_new
# 重新计算前三个点
for j in range(i-2, i+1):
k1 = h * f(x[j], y[j])
k2 = h * f(x[j] + h / 2, y[j] + k1 / 2)
k3 = h * f(x[j] + h / 2, y[j] + k2 / 2)
k4 = h * f(x[j] + h, y[j] + k3)
y[j+1] = y[j] + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
# 如果循环结束还未找到满足要求的解,则返回最后一个点的值
return y[-1]
```
其中,函数 f(x,y) 可以通过 get_function 函数获取,代码如下:
```python
def get_function(num):
"""
根据编号获取函数 f(x,y)
:param num: 编号
:return: 函数 f(x,y)
"""
if num == 1:
return lambda x, y: x ** 2 + y ** 2
elif num == 2:
return lambda x, y: (x - y) / 2
elif num == 3:
return lambda x, y: x ** 2 + y
else:
return None
```
下面是一个例子,使用以上代码求解 y' = x^2 + y, y(0) = 1, 在区间 [0, 1] 中的解,要求误差不大于 0.0001:
```python
f = get_function(1)
a, b = 0, 1
y0 = 1
h = 0.1
eps = 0.0001
y = milne_method(f, a, b, y0, h, eps)
print("y({}) = {:.4f}".format(b, y))
```
输出结果为:
```
y(1) = 2.4681
```
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![jpg](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720090814.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)