用乔列斯基法解线性方程组对称正定矩阵的程序代码C++

在C++中，我们可以使用乔利斯基分解（Cholesky Decomposition）来解决线性方程组，特别是对于对称正定矩阵。这种方法是一种直接求解技术，它将一个对称正定矩阵A分解为下三角形矩阵L乘以其转置L^T的形式，即A = LL^T。

以下是使用乔利斯基分解求解线性方程组的一个简单示例：

#include <iostream>
#include <vector>

// 用C++实现L*L^T Cholesky分解
std::vector<double> cholDecomp(const std::vector<std::vector<double>>& A) {
    int n = A.size();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double sqrtTerm = 0;
        if (i == 0)
            sqrtTerm = A[i][i];
        else
            sqrtTerm = std::sqrt(A[i][i] - sumSquares(A[i], i - 1));

        if (sqrtTerm == 0) return {}; // 如果当前元素小于零，说明矩阵不是正定的

        A[i][i] /= sqrtTerm;

        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            A[j][i] /= sqrtTerm;
            A[j][j] -= std::pow(A[j][i], 2);
        }
    }

    return A;
}

// 解决线性方程组Ax=b
std::vector<double> solveLinearSystem(const std::vector<std::vector<double>>& L, const std::vector<double>& b) {
    int n = L.size();
    std::vector<double> x(n);

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double sum = 0;
        if (i > 0)
            sum = x[i - 1];

        x[i] = (b[i] - sum) / L[i][i];
    }

    return x;
}

// 简化的主函数演示
int main() {
    int n = 4;
    std::vector<std::vector<double>> A(n, std::vector<double>(n)); // 初始化对称矩阵
    std::vector<double> b(n); // 初始值向量

    // 初始化矩阵和向量...
    // A = cholDecomp(A); // 进行Cholesky分解

    if (A.empty()) {
        std::cerr << "Matrix is not positive definite." << std::endl;
        return 1;
    }

    std::vector<double> x = solveLinearSystem(A, b); // 解方程组

    // 打印结果...
    //