根据排队论的PK公式，推导MGK公式公式

PK公式，也称为P-K公式，通常用于描述单服务台系统（如呼叫中心或银行窗口）中的顾客等待时间和队列长度。这个公式由M/M/1系统（即泊松分布到达率、指数分布的服务时间并且只有一个服务台）的等价形式而来，公式表达的是平均等待时间和系统的平均人数。

PK公式的原始版本为：
\[ L = \frac{\lambda W}{\mu - \lambda} \]
其中：
- \( L \) 是平均队列长度（即平均等待人数），
- \( \lambda \) 是顾客的到达率（每单位时间内到达的顾客数）,
- \( \mu \) 是每个服务台的平均服务速率（每单位时间内完成的服务次数）,
- \( W \) 是服务台的服务时间（一次服务所需的时间）。

MGK公式，即Many Get Known (多人知晓) 公式，是对PK公式的扩展，考虑了当有多个服务台时的情况。在这种情况下，公式变成了：
\[ L = \frac{\lambda W}{(\mu_1 + \mu_2 - \lambda)} \]
这里，\( \mu_1 \) 和 \( \mu_2 \) 分别代表两个独立服务台的服务速率。如果有多个服务台，每增加一个，\( \mu_i \) 的值就相应地加到分母上。

相关问题

m=50,g=9.81,k=0.0362,h=300时 h + (m/2sqrt(kg)) * ln(1+e^(-2sqrt(mgk)/m t))/√(1+e^(-2sqrt(mgk)/m t))等于多少

### 回答1：
根据给出的公式，代入给定的数值，我们可以计算出：

h + (m/2sqrt(kg)) * ln(1+e^(-2sqrt(mgk)/m t))/√(1+e^(-2sqrt(mgk)/m t))

= 300 + (50/2sqrt(9.81*0.0362)) * ln(1+e^(-2sqrt(50*9.81*0.0362)/50 * t))/√(1+e^(-2sqrt(50*9.81*0.0362)/50 * t))

= 300 + (25/sqrt(3.5361)) * ln(1+e^(-1.986 * t))/√(1+e^(-1.986 * t))

= 300 + 7.0602 * ln(1+e^(-1.986 * t))/√(1+e^(-1.986 * t))

因为没有给定时间t的具体数值，所以无法将其代入计算得到最终结果。

### 回答2：
根据题目给出的条件和公式要求，我们可以进行如下步骤的计算：

首先，代入已知的数值，得到计算式为：

h = (50/2√(0.0362*9.81)) * ln(1e^(-2√(50*0.0362*9.81)/50 * t))/√(1e^(-2√(50*0.0362*9.81)/50 * t))

然后，对计算式进行简化，得到：

h = (50/2√(0.0362*9.81)) * ln(1e^(-0.06057t))/√(1e^(-0.06057t))

接着，化简分母表达式，得到：

h = (50/2√(0.0362*9.81)) * ln(1e^(-0.06057t))/(1e^(-0.03029t))

继续整理分子和分母，得到：

h = (50/2√(0.0362*9.81)) * ln(e^(-0.06057t))/(e^(-0.03029t))

由于ln(e^x) = x，得到：

h = (50/2√(0.0362*9.81)) * -0.06057t/(e^(-0.03029t))

继续简化表达式，得到：

h = (50/2√(0.0362*9.81)) * -0.06057t * e^(0.03029t)

最后，将计算结果展开，得到：

h = -7006.846t * e^(0.03029t)

综上所述，当m=50, g=9.81, k=0.0362, h=300时，h等于-7006.846t * e^(0.03029t)。

### 回答3：
根据提供的表达式，我们可以进行如下的计算：

h = (m/2sqrt(kg)) * ln(1 e^(-2sqrt(mgk)/m t))/√(1 e^(-2sqrt(mgk)/m t))

首先，我们计算分子中的式子 e^(-2sqrt(mgk)/m t)。

e^(-2sqrt(mgk)/m t) = e^(-2sqrt(50*9.81*0.0362)/50* t) ≈ e^(-0.0682 t)

然后，我们将上述结果代入原表达式中，化简计算：

h = (m/2sqrt(kg)) * ln(1 e^(-0.0682 t))/√(1 e^(-0.0682 t))

h = (50/2sqrt(50*9.81*0.0362)) * ln(1 e^(-0.0682 t))/√(1 e^(-0.0682 t))

h = (50/2sqrt(1786.29)) * ln(1 e^(-0.0682 t))/√(1 e^(-0.0682 t))

h = (50/2*42.256) * ln(1 e^(-0.0682 t))/√(1 e^(-0.0682 t))

h = (50/84.512) * ln(1 e^(-0.0682 t))/√(1 e^(-0.0682 t))

h = 0.591 * ln(1 e^(-0.0682 t))/√(1 e^(-0.0682 t))

通过上述计算，当 m = 50、g = 9.81、k = 0.0362、h = 300 时，表达式 h = (m/2sqrt(kg)) * ln(1 e^(-2sqrt(mgk)/m t))/√(1 e^(-2sqrt(mgk)/m t)) 的值约为 0.591 * ln(1 e^(-0.0682 t))/√(1 e^(-0.0682 t))。

求解积分：d_t=h-int(v_y,t,0,t),v_y=sqrt(mg/k) * ( (1-e^(-2sqrt(mgk)/m t)) / (1+e^(-2sqrt(mgk)/m t)) )

首先，我们可以计算出 v_y 的不定积分：

∫v_y dt = ∫sqrt(mg/k) * ( (1-e^(-2sqrt(mgk)/m t)) / (1+e^(-2sqrt(mgk)/m t)) ) dt

令u = e^(-2sqrt(mgk)/m t)，则du/dt = (-2sqrt(mgk)/m) * e^(-2sqrt(mgk)/m t)dt，从而有：

∫v_y dt = (-m/2sqrt(kg)) * ∫(1-u)/(1+u) du

= (-m/2sqrt(kg)) * (∫du/(1+u) - ∫u du/(1+u))

= (-m/2sqrt(kg)) * (ln(1+u) - (1/2)ln(1+u)^2)

= (-m/2sqrt(kg)) * ln(1+u)/√(1+u)

= (-m/2sqrt(kg)) * ln(1+e^(-2sqrt(mgk)/m t))/√(1+e^(-2sqrt(mgk)/m t))

现在我们来计算 d_t：

d_t = h - ∫v_y dt

= h + (m/2sqrt(kg)) * ln(1+e^(-2sqrt(mgk)/m t))/√(1+e^(-2sqrt(mgk)/m t))

因此，积分的解为：

d_t = h + (m/2sqrt(kg)) * ln(1+e^(-2sqrt(mgk)/m t))/√(1+e^(-2sqrt(mgk)/m t))