ρxy=-0.5 E(x)=20,D(x)=16 ，Z=2x+3Y, E(Y)=15, D(Y)=9,求P(55<x<120)下界

这是一个数理统计的问题，属于IT类问题。

根据题意，我们可以得到：

E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2 × 20 + 3 × 15 = 85

D(Z) = D(2X + 3Y) = 4D(X) + 9D(Y) + 12Cov(X, Y)

其中，Cov(X, Y)是X和Y的协方差。由于ρxy = -0.5，我们可以得到：

Cov(X, Y) = ρxy × σx × σy = -0.5 × √16 × √9 = -2.25

因此，

D(Z) = 4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5 = 138.5

接下来，我们需要将Z标准化为标准正态分布：

Z' = (Z - E(Z)) / √D(Z) = (Z - 85) / √138.5

P(55 < X < 120)等价于P(2X < 240)。将2X带入Z的公式中，得到：

Z' = (2X - 2E(X) + 3Y - 3E(Y)) / √(4D(X) + 9D(Y) + 12Cov(X, Y))

将X = 55和X = 120代入上式，分别得到：

Z'1 = (110 - 2 × 20 + 3Y - 3 × 15) / √(4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5) ≈ 0.61 + 0.35Y

Z'2 = (240 - 2 × 20 + 3Y - 3 × 15) / √(4 × 16 + 9 × 9 - 2 × 4.5) ≈ 1.91 + 0.35Y

因为Z'是标准正态分布，所以P(55 < X < 120)等价于P(Z'1 < Z' < Z'2)。将Z'1和Z'2带入标准正态分布的累积分布函数中，得到：

P(Z'1 < Z' < Z'2) ≈ Φ(Z'2) - Φ(Z'1) ≈ Φ(1.91 + 0.35Y) - Φ(0.61 + 0.35Y)

其中，Φ是标准正态分布的累积分布函数。因为我们不知道Y的具体取值，所以需要对Y进行积分：

P(55 < X < 120) ≈ ∫Φ(1.91 + 0.35Y) - Φ(0.61 + 0.35Y) f(y)dy

其中，f(y)是Y的概率密度函数。由于Y是正态分布，所以：

f(y) = 1 / (√2πD(Y)) × exp[-(y-E(Y))^2 / (2D(Y))]

将f(y)带入上式，得到：

P(55 < X < 120) ≈ ∫[Φ(1.91 + 0.35y) - Φ(0.61 + 0.35y)] × [1 / (√2πD(Y)) × exp[-(y-E(Y))^2 / (2D(Y))]]dy

这是一个积分问题，可以使用数值积分或者计算机软件求解。