python 龙格库塔算法

龙格库塔算法（Runge-Kutta method）是一种求解常微分方程的数值方法，通常用于求解初值问题。它是由德国数学家卡尔·龙格（Carl Runge）和马丁·威尔海姆·库塔（Martin Wilhelm Kutta）于19世纪末提出的。

龙格库塔算法的基本思想是：将初始值问题转化为一个差分方程，然后利用一定的数值逼近方法求解该差分方程。具体来说，我们先将时间区间 [t0, t1] 划分成若干个小区间，并在每个小区间内利用数值逼近方法求解微分方程。常用的数值逼近方法有欧拉法、改进欧拉法、龙格库塔法等。

其中，龙格库塔法是最常用的数值逼近方法之一。它的基本思路是：将一个小区间内的微分方程看作一个初值问题，然后利用一定的数值逼近方法求解该初值问题。具体来说，我们先选取一些插值点，计算出这些插值点处的函数值和斜率，然后利用插值公式计算出该区间内微分方程的解。常用的龙格库塔法有四阶龙格库塔法、五阶龙格库塔法等，它们的精度越高，计算量就越大。

以下是一个简单的 Python 实现四阶龙格库塔法的代码示例：

def runge_kutta(f, x0, y0, h, n):
    """
    f: 微分方程右侧函数
    x0, y0: 初始值
    h: 步长
    n: 迭代次数
    """
    x = [x0]
    y = [y0]

    for i in range(n):
        k1 = f(x[-1], y[-1])
        k2 = f(x[-1] + h/2, y[-1] + h*k1/2)
        k3 = f(x[-1] + h/2, y[-1] + h*k2/2)
        k4 = f(x[-1] + h, y[-1] + h*k3)

        y_new = y[-1] + h*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6
        y.append(y_new)

        x_new = x[-1] + h
        x.append(x_new)

    return x, y

其中，f 是微分方程右侧函数，x0 和 y0 是初始值，h 是步长，n 是迭代次数。函数返回解的 x 和 y 坐标。