平滑函数sigmoid

平滑函数Sigmoid，也称为 logistic 函数或 S-curve，是一个在数学和机器学习中常用的连续可微函数，其数学表达式通常写作：

\[ \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \]

这里的 \( z \) 可以看作输入值，而 \( \sigma(z) \) 表示经过Sigmoid变换后的输出，它的范围总是介于0（包含）和1（包含）之间。当 \( z \) 很大时，\( \sigma(z) \) 接近于1；当 \( z \) 很小时，\( \sigma(z) \) 接近于0。这种单调递增的性质使得Sigmoid函数非常适合作为激活函数用于神经网络中的节点，因为它能够将任意实数值映射到一个概率似的区间，方便处理二分类问题。

Sigmoid函数的主要优点包括：
- 输出易于解释：因为它提供了类似概率的形式，可以直接理解为预测的可能性。
- 阶跃变化平缓：避免了梯度消失的问题，特别是对于深度网络来说。
- 可防止过拟合：由于不是线性的，模型对输入的变化更加敏感，有助于训练过程。

然而，Sigmoid函数也有缺点：
- 梯度在接近饱和区域（即输出接近0或1时）会非常小，导致所谓的“vanishing gradient”问题，这会影响反向传播算法的学习效率。
- 当输入数据集中在某一小范围内时，Sigmoid曲线可能会变得平坦，影响模型的灵敏度。