证明多元高斯分布的边缘分布是高斯分布

多元正态分布（Multivariate Normal Distribution），也称为高斯分布向量，其边缘分布仍然是单变量的高斯分布。这是因为当一个随机向量从高斯分布中抽样时，每个维度都是独立地从该向量的联合概率密度函数中抽取的。对于二维或更高维的情况，我们可以沿着一个特定的坐标轴对数据进行投影，得到的结果就是单变量的。

假设我们有一个n维的多元正态随机变量\( \mathbf{X} \)服从均值向量\( \boldsymbol{\mu} \)和协方差矩阵\( \Sigma \)，其概率密度函数可以写作：

\[ f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^\top\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right) \]

其中\( |\cdot| \)表示行列式的绝对值。如果我们选择一个坐标轴\( j \)并取\( \mathbf{x} \)在这个轴上的分量\( x_j \)，那么\( x_j \)的边缘分布是一个标准正态分布，因为其他所有分量的影响都被协方差矩阵的结构所抵消了。边缘概率密度函数只依赖于\( x_j \)的值，而不再是联合分布中的全部信息。

简单来说，边缘分布的形式是：

\[ f(x_j) = \phi(x_j - \mu_j) \]
这里\( \phi \)是标准正态分布的概率密度函数，\( \mu_j \)是原向量在第\( j \)维的均值。