机器学习---线性判别分析

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）是一种经典的监督学习算法，主要用于分类问题。它通过将数据投影到低维空间中，使得不同类别的数据在投影后能够更好地被区分。

LDA的基本思想是将数据投影到一条直线上，使得同类数据的投影点尽可能接近，不同类别的数据的投影点尽可能远离。这条直线就是LDA的判别线。

与PCA（主成分分析）不同，LDA是一种有监督学习算法，需要已知每个样本所属的类别。因此，LDA通常用于分类问题，而PCA通常用于降维问题。

相关问题

机器学习 --- 线性判别分析

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种常用的机器学习算法，它可以用于降低数据维度，同时保留最具类别区分度的特征。LDA主要通过计算样本类别之间的差异性和类内散度来实现降维。在LDA中，我们希望将数据投影到一个新的低维空间上，使得同一类样本的投影点尽可能接近，不同类样本的投影点尽可能分开。

LDA算法的主要步骤如下：
1. 对于给定的样本集，首先将其按照类别进行划分，得到各个类别的样本集合。
2. 计算各个类别样本集合的协方差矩阵。
3. 计算类内散度矩阵，即将各个类别样本集合的协方差矩阵加权求和。
4. 计算类间散度矩阵，即各个类别的样本均值之间的差异性。
5. 计算投影向量，即通过求解广义特征值问题得到投影向量。
6. 将样本点投影到投影向量上，得到降维后的数据。

这个过程可以通过数学公式和代码来实现，不同的实现方式可能略有不同。在给定代码中，第一部分是自己实现的LDA算法，第二部分是使用sklearn库中的LDA算法。

机器学习 --- 感知机头歌

### 感知机入门教程

#### 什么是感知机？

感知机是二分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别，取+1和-1。感知机对应于输入空间（特征空间）中将实例划分为正负两类的分离超平面，属于判别模型[^2]。

#### 感知机的历史背景

作为最古老的分类方法之一，感知机的概念早在1957年就被提出。该模型的核心思想是在平面上画出一条直线、在三维空间中画出一个平面，或更广泛地在一个高维向量空间内定义一个超平面，以此区分不同类别的数据点[^3]。

#### 模型结构与工作原理

感知机由一系列权重参数 \( w \) 和偏置项 \( b \) 组成，用于描述决策边界：

\[ f(x) = sign(w·x + b) \]

其中，
- \( x \) 表示样本特征；
- \( w \) 是权值向量；
- \( b \) 称作阈值或偏移量；
- 函数 `sign` 返回符号：当括号内的表达式大于零时返回+1；小于等于0则返回-1。

训练过程中调整这些参数使得误分误差最小化直到收敛为止。一旦完成训练过程，则可以根据上述公式对新来的未知样例做出预测判断它应该归属于哪一类。

#### 学习算法

##### 原始形式

原始形式下的更新规则如下所示:

如果存在错误分类的数据\( (x_i, y_i)\)，即满足条件 \(y_if(x_i)<0\) ，那么就按照下面的方式去修改当前的权重以及偏差值：

w <- w + η * yi * xi
b <- b + η * yi

这里η代表的是学习率，决定了每次迭代时步长大小的选择。

##### 对偶形式

为了提高效率并减少内存占用，在实际应用当中通常采用对偶形式来进行优化求解。此时不再直接操作具体的样本而是基于核技巧间接处理它们之间的关系矩阵K(Kernel Matrix),从而实现非线性的映射转换效果而无需显式增加维度复杂度.

#### 实现案例

下面是Python环境下简单的单层感知器实现代码片段：

import numpy as np

class Perceptron(object):

    def __init__(self, eta=0.01, n_iter=10):
        self.eta = eta
        self.n_iter = n_iter
    
    def fit(self, X, y):
        """Fit training data.
        
        Parameters
        ----------
        X : {array-like}, shape = [n_samples, n_features]
            Training vectors, where n_samples is the number of samples and
            n_features is the number of features.
            
        y : array-like, shape = [n_samples]
            Target values."""
        
        self.w_ = np.zeros(1 + X.shape[1])
        self.errors_ = []

        for _ in range(self.n_iter):
            errors = 0
            for xi, target in zip(X, y):
                update = self.eta * (target - self.predict(xi))
                self.w_[1:] += update * xi
                self.w_[0] += update
                errors += int(update != 0.0)
            self.errors_.append(errors)
        return self
        
    def net_input(self, X):
        """Calculate net input"""
        return np.dot(X, self.w_[1:]) + self.w_[0]

    def predict(self, X):
        """Return class label after unit step"""
        return np.where(self.net_input(X) >= 0.0, 1, -1)

# Example usage:
ppn = Perceptron(eta=0.1, n_iter=10)
X_train = [[...]] # Your training set here...
y_train = [...]   # Corresponding labels ...
ppn.fit(np.array(X_train), np.array(y_train))

print(ppn.predict([[new_sample_feature_vector]])) # Predict new sample's category based on trained model