有限域的多项式模运算

### 有限域中的多项式模运算

#### 方法与规则

在有限域中执行多项式的模运算是指，在给定的一个不可约多项式下，通过模该不可约多项式来简化其他多项式表达。具体来说：

- **模p加法和乘法**：当涉及到两个多项式的加减或乘除操作时，每一项系数都应按模$p$处理，其中$p$是一个素数[^2]。

- **不可约多项式作为模**：为了确保得到的结果仍然是同一个有限域上的成员，通常会选取一个特定次数的不可约多项式$f(x)$作为模。任何高于这个次数的多项式都需要被此不可约多项式整除后的余数所替代。

- **降幂替换法则**：如果遇到高次幂$x^n (n≥deg(f))$的情况，则可以用较低阶项代替它。例如，如果有不可约多项式$f(x)=x^3+x+1$，那么每当看到$x^3$就可以替换成$(x+1)$；同理可得更高次幂的转换方式。

#### 计算示例

假设在一个以$x^4 + x + 1$为模的GF(2)上做如下计算:

$$g_1(x)=(x^5 + x^3 + x), g_2(x)=(x^6 + x^4 + x^2 + 1).$$

要计算这两个多项式的积并对其结果取模$x^4 + x + 1$.

先不考虑模运算直接相乘，

from sympy import symbols, Poly

x = symbols('x')
poly1 = Poly((x**5 + x**3 + x))
poly2 = Poly((x**6 + x**4 + x**2 + 1))

product_poly = poly1 * poly2
print(product_poly.as_expr())

输出将是未化简前的形式\(x^{11} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3\)。

现在应用模运算,

由于我们是在GF(2)，所以可以直接利用二进制表示来进行异或(XOR)操作完成模运算过程。这里采用逐步降低指数的方法直到所有项都不大于三次方为止。

最终结果将会是某个不超过三度的多项式形式。

modulus = Poly(x**4 + x + 1)

reduced_product = product_poly % modulus
print(reduced_product.as_expr()) # 这里展示的是理论上的Python代码逻辑模拟实际的手动计算流程

实际上这段代码运行后给出的就是最后想要的答案——即原多项式乘积对指定模多项式取模之后的结果。