基于矩阵分解的协同过滤

### 基于矩阵分解的协同过滤算法原理

在基于矩阵分解的协同过滤算法中，主要目标是对原始用户-项目评分矩阵 \( R \) 进行低秩近似。该过程涉及将大而稀疏的评分矩阵分解成两个较小维度的隐含特征矩阵：一个是代表用户的隐向量矩阵 \( U \)，另一个是项目的隐向量矩阵 \( M \)[^1]。

#### 隐向量生成与优化

为了获得这些隐向量，首先需要人为设定潜在因子的数量 \( k \)，即希望提取出来的隐藏特征数目。接着随机初始化用户和物品各自的特征矩阵，并通过迭代更新的方式逐步逼近最优解，使得重构后的矩阵能够尽可能好地拟合已知数据中的评分记录[^2]。

#### 推荐机制

一旦获得了用户和商品之间相对应的隐向量之后，便可以通过计算两者间内积或其他形式的距离度量（如余弦相似度），从而评估未被观测到的部分可能存在的偏好程度并据此做出个性化推荐[^4]。

### Python 实现示例

下面给出一段简单的Python代码片段用于展示如何应用交替最小二乘法(Alternating Least Squares, ALS)来进行显式的矩阵分解：

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix
from implicit.als import AlternatingLeastSquares


def matrix_factorization(R, P, Q, K, steps=5000, alpha=0.0002, beta=0.02):
    '''
    :param R: 用户-项评分矩阵 (m*n)
    :param P: 初始化后的用户特征矩阵(m*k)
    :param Q: 初始化后的项特征矩阵(n*k)
    :param K: 特征数/纬度
    :return: 训练好的P,Q矩阵
    '''

    for step in range(steps):
        for i in range(len(R)):
            for j in range(len(R[i])):
                if R[i][j] > 0:
                    eij = R[i][j] - np.dot(P[i,:],Q[j,:])
                    for k in range(K):
                        P[i][k] = P[i][k] + alpha * (2 * eij * Q[j][k] - beta * P[i][k])
                        Q[j][k] = Q[j][k] + alpha * (2 * eij * P[i][k] - beta * Q[j][k])

        error = 0
        for i in range(len(R)):
            for j in range(len(R[i])):
                if R[i][j] > 0:
                    error += pow(R[i][j] - np.dot(P[i,:],Q[j,:]), 2)

        if error < 0.001:
            break
            
    return P, Q


R = [
     [5,3,0,1],
     [4,0,0,1],
     [1,1,0,5],
     [1,0,0,4],
     [0,1,5,4],
    ]

R = np.array(R)

N = len(R)
M = len(R[0])
K = 2

P = np.random.rand(N,K)
Q = np.random.rand(M,K)

n_P, n_Q = matrix_factorization(R, P, Q, K)

print(np.round_(np.dot(n_P,n_Q.T), decimals=2))

这段代码展示了基本的ALS训练流程以及最终得到的新评分预测表。注意这里采用的是梯度下降方式调整参数；实际工程实践中可能会选用更高效的求解器比如SGD或Adam等[^3]。