单因素方差分析法公式及原理

单因素方差分析（One-Way ANOVA），也称为ANOVA，是一种统计学方法，用于比较三个或更多组之间的平均值是否显著差异。它的基本假设包括数据应满足正态分布、方差齐性和独立性。

公式上，它通常涉及以下几个步骤：
1. **均值平方误差** (Mean Squared Error, MSE): 每个组内的变异程度，表示为 \( MSE = \frac{\sum_{i=1}^{k}(n_i - 1)s^2}{\sum_{i=1}^{k}(n_i - 1)} \)，其中 \( k \) 是组数，\( n_i \) 是第 \( i \) 组的样本量，\( s^2 \) 是每个组内样本方差。
2. **组间均方** (Between-group Mean Square, BMS): 表示各组总体均值间的变异性，计算公式为 \( BMS = \frac{(n_1 - 1)s_{\bar{x}}^2 + ... + (n_k - 1)s_{\bar{y}}^2}{k - 1} \)，其中 \( s_{\bar{x}}^2 \) 是各个组样本均值的标准偏差平方。
3. **F 分数** (F-ratio): F 分数衡量的是组间变异性与组内变异性之比，即 \( F = \frac{BMS}{MSE} \)。如果F值很大且有统计意义（通过查表或p值确定），则拒绝零假设，认为至少有一组的平均值与其余组不同。

原理上，单因素方差分析试图检验是否存在一个因素（如处理条件）导致了观察到的数据变化。它将总变异分解为组间变异和组内变异，以此来判断这种差异是否由于随机误差还是真实的效应引起。