logsoftmax的反向传播过程和softmax的差异

Logsoftmax和softmax函数的作用是将一个k维向量压缩到另一个k维向量，使得向量中的每个元素都在(0, 1)之间，并且所有元素之和为1。不同之处在于softmax函数使用指数函数，而logsoftmax函数使用对数函数。

对于softmax函数，其反向传播可以使用交叉熵误差函数来推导。具体地，若y是softmax函数的输出，t是标签值，则交叉熵损失函数可以写成：$L=-\sum_{i}t_ilog(y_i)$。通过对该损失函数对y求导数，可以得到softmax函数的反向传播公式。

而对于logsoftmax函数，其反向传播的推导与softmax类似。具体地，若y是logsoftmax函数的输出，则交叉熵损失函数可以写成：$L=-\sum_{i}t_iy_i$。通过对该损失函数对y求导数，可以得到logsoftmax函数的反向传播公式。

总之，logsoftmax和softmax函数的反向传播过程非常相似，区别在于损失函数的计算方式不同。需要注意的是，在实际应用中，通常使用logsoftmax函数来避免数值计算上溢问题。

相关问题

反向传播算法实现数字识别

### 使用反向传播算法实现数字识别

为了理解如何使用反向传播算法实现数字识别，可以将其视为一个多类分类问题。该过程涉及构建并训练一个能够区分不同手写数字的神经网络模型。

#### 构建神经网络架构
通常情况下，对于简单的手写数字识别任务（如MNIST数据集），可以选择三层结构：输入层、隐藏层以及输出层。其中，输入层节点数等于图像像素数量；隐藏层数量依据具体需求设定；而输出层大小对应于类别数目，在此案例中即0到9这十个可能的结果[^1]。

#### 初始化权重与偏置项
采用随机方式初始化各层之间的连接权值和偏置项，这是为了避免对称性带来的不良影响，并有助于打破均一化状态以便更好地学习特征表示[^2]。

#### 前向传播计算预测结果
从前向后依次通过每一层执行加权求和再激活的操作直到得到最终输出y_hat。这里假设采用了softmax作为最后一层激活函数，则可获得各个类别的概率分布形式：

import numpy as np

def softmax(z):
    exp_z = np.exp(z - np.max(z))
    return exp_z / exp_z.sum(axis=0)

# 示例前向传播部分代码片段
z_hidden = X.dot(W_input_to_hidden) + b_hidden
a_hidden = sigmoid(z_hidden)
z_output = a_hidden.dot(W_hidden_to_output) + b_output
output_probabilities = softmax(z_output)

#### 计算损失函数评估性能差距
利用交叉熵损失衡量实际标签y_true同预测值y_pred间的差异程度，以此反映当前模型的好坏状况:

\[ L(y_{true}, y_{pred})=-\sum _{i}^{C}{y}_{ti}\log {y}_{pi} \]

此处\( C \)代表总共有多少种类别选项可供选择[^4]。

#### 执行反向传播更新参数
基于链式法则沿着整个网络逆序传递误差信号至最底层，从而完成梯度计算工作。随后应用某种优化策略比如SGD(Stochastic Gradient Descent)，Adagrad或是Adam等方法调整相应的权重矩阵W及偏置b以最小化上述提到的目标函数L[]^3]^。

下面给出简化版的手写字体识别程序框架供参考：

class NeuralNetwork(object):

    def __init__(self, input_dim, hidden_size, output_dim, learning_rate=0.01):
        self.input_dim = input_dim
        self.hidden_size = hidden_size
        self.output_dim = output_dim
        
        # 权重初始化
        self.W1 = np.random.randn(self.input_dim, self.hidden_size)
        self.b1 = np.zeros((1, self.hidden_size))
        self.W2 = np.random.randn(self.hidden_size, self.output_dim)
        self.b2 = np.zeros((1, self.output_dim))

        self.learning_rate = learning_rate
    
    def forward_pass(self, X):
        z1 = X @ self.W1 + self.b1
        h1 = relu(z1)
        z2 = h1 @ self.W2 + self.b2
        probs = softmax(z2)
        
        cache = (X, z1, h1, z2, probs)
        return probs, cache
    
    def backward_pass(self, dLoss_dProbs, cache):
        X, z1, h1, z2, probs = cache
        
        dz2 = dLoss_dProbs * probs
        db2 = np.sum(dz2, axis=0, keepdims=True)
        dW2 = h1.T @ dz2
        
        dh1 = dz2 @ self.W2.T
        dz1 = dh1 * relu_derivative(z1)
        db1 = np.sum(dz1, axis=0, keepdims=True)
        dW1 = X.T @ dz1
        
        gradients = {'dW1': dW1,
                     'db1': db1,
                     'dW2': dW2,
                     'db2': db2}
                     
        return gradients
    
    def update_parameters(self, grads):
        self.W1 -= self.learning_rate * grads['dW1']
        self.b1 -= self.learning_rate * grads['db1']
        self.W2 -= self.learning_rate * grads['dW2']
        self.b2 -= self.learning_rate * grads['db2']

# 定义辅助函数...
def relu(x): ...
def relu_derivative(x): ...
def cross_entropy_loss(probs, labels): ...

if __name__ == "__main__":
    nn = NeuralNetwork(input_dim=784, hidden_size=128, output_dim=10)
    
    # 加载 MNIST 数据集 并 进行预处理...

    epochs = 5
    batch_size = 64
    
    for epoch in range(epochs):
        batches_per_epoch = int(len(X_train)/batch_size)+1
        for i in range(batches_per_epoch):
            start_idx = i*batch_size
            end_idx = min(start_idx+batch_size,len(X_train))
            
            X_batch = X_train[start_idx:end_idx]
            Y_batch = Y_train[start_idx:end_idx]
            
            predictions, caches = nn.forward_pass(X_batch)
            loss_value = cross_entropy_loss(predictions,Y_batch)
            
            grad_wrt_probs = ... # 对应于 d(Loss)/d(Prediction)
            grads = nn.backward_pass(grad_wrt_probs,caches)
            nn.update_parameters(grads)
            
print(f'Epoch [{epoch}/{epochs}], Loss: {loss_value:.4f}')

损失函数softmax

损失函数softmax是一种常用的分类损失函数，主要用于多分类任务。它通过将模型的输出转化为概率分布，然后计算真实标签与预测概率之间的差异来评估模型的性能。

softmax损失函数的计算公式可以表示为：L(θ) = -Σ(y_i * log(p_i))，其中y_i表示真实标签的one-hot编码，p_i表示模型预测的类别概率。

损失函数中的log函数可以将概率值转化为负对数，使得预测概率越接近真实标签，损失函数的值就越小。通过最小化损失函数，可以使得模型更好地拟合训练数据，并提高分类的准确性。

softmax损失函数在训练过程中通常与交叉熵损失函数一起使用，以便更好地优化模型参数。在反向传播过程中，通过计算损失函数对模型参数的梯度，可以更新参数以最小化损失函数。

总结来说，softmax损失函数是一种用于多分类任务的损失函数，通过计算真实标签与模型预测概率的差异来评估模型性能，并通过优化参数来提高分类准确性。