计算行列式a011……11a10……010a2……0……an-2……10……0an-1
时间: 2024-01-20 21:00:25 浏览: 27
首先,这个行列式的阶数为 n。
根据行列式的定义,我们可以求得这个行列式的表达式为:
| a_0 1 1 1 ... 1 a_1 0 ... 0 |
| 0 a_1 1 1 ... 1 0 a_2 ... 0 |
| 0 0 a_2 1 ... 1 0 0 ... 0 |
| ... ... |
| ... ... |
| ... ... |
| 0 0 0 0 ... a_{n-2} 1 1 ... 0 |
| 0 0 0 0 ... 0 a_{n-1} 1 ... 0 |
| 0 0 0 0 ... 0 0 a_n |
我们可以观察到以下规律:
1. 行列式的第一行和最后一行有 a_0 和 a_n;
2. 每一行的 1 的数量比前一行多一个;
3. 对角线上的元素是 a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1}。
4. 除了对角线上的元素和第一行、最后一行的元素外,其他元素全是 1。
根据这些规律,我们可以将这个行列式转化为上三角形的形式如下:
| a_0 1 1 1 ... 1 a_1 0 ... 0 |
| 0 a_1 1 1 ... 1 0 a_2 ... 0 |
| 0 0 a_2 1 ... 1 0 0 ... 0 |
| ... ... |
| ... ... |
| ... ... |
| 0 0 0 0 ... a_{n-2} 1 0 ... 0 |
| 0 0 0 0 ... 0 a_{n-1} 0 ... 0 |
| 0 0 0 0 ... 0 0 a_n |
接下来,我们可以通过逐行将该行的元素乘以相应的系数再加到下一行上进行化简:
首先,我们将第一行的元素乘以 a_0,加到第二行上,然后将第二行的元素乘以 a_1,加到第三行上,以此类推,最后将第 n-1 行的元素乘以 a_{n-1},加到第 n 行上。
化简后,行列式的形式变为:
| a_0 a_0 0 0 ... 0 0 a_0*a_1 ... a_0*a_{n-1} |
| 0 a_1 a_1 0 ... 0 0 0 ... 0 |
| 0 0 a_2 a_2 ... 0 0 0 ... 0 |
| ... ... |
| ... ... |
| ... ... |
| 0 0 0 0 ... a_{n-2} a_{n-2} 0 ... 0 |
| 0 0 0 0 ... 0 a_{n-1} a_{n-1} ... 0 |
| 0 0 0 0 ... 0 0 0 ... a_n |
接下来,我们可以观察到以下规律:
1. 对角线上的元素为 a_0, a_1, a_2, ..., a_{n-1};
2. 其他非对角线元素为零;
3. 行列式的值为对角线上各个元素的乘积,即 a_0 * a_1 * a_2 * ... * a_{n-1} * a_n。
所以,行列式的值为 a_0 * a_1 * a_2 * ... * a_{n-1} * a_n。