对称矩阵有哪些性质?
时间: 2024-04-05 16:26:31 浏览: 25
对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身的矩阵。它具有以下性质:
1. 对称性:对称矩阵的元素关于主对角线对称,即第i行第j列的元素等于第j行第i列的元素。
2. 实对称性:如果对称矩阵的元素都是实数,则称其为实对称矩阵。
3. 特征值为实数:对称矩阵的特征值都是实数。
4. 特征向量正交:对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。
5. 对角化:对称矩阵可以通过正交相似变换对角化,即可以表示为对角矩阵的形式。
6. 主对角线上的元素都是实数:对称矩阵的主对角线上的元素都是实数。
7. 对称矩阵的秩等于非零特征值的个数。
相关问题
对称矩阵和反对称矩阵的性质
对称矩阵和反对称矩阵是两类特殊的矩阵,它们具有以下性质:
1. 对称矩阵:如果一个矩阵A的转置矩阵等于它本身,即A^T=A,则称A为对称矩阵。对称矩阵的主对角线上的元素都是实数,且对称矩阵是实对称矩阵。对称矩阵的特征值都是实数,且特征向量可以正交归一化。
2. 反对称矩阵:如果一个矩阵A的转置矩阵的相反数等于它本身,即A^T=-A,则称A为反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线上的元素都为0,且反对称矩阵是纯虚矩阵。反对称矩阵的特征值都是纯虚数或0。
3. 对于任意矩阵A和B,有(A+B)的转置矩阵等于A的转置矩阵加上B的转置矩阵,即(A+B)^T=A^T+B^T。
4. 对于任意矩阵A和B,有(AB)的转置矩阵等于B的转置矩阵乘以A的转置矩阵,即(AB)^T=B^T*A^T。
5. 对于任意对称矩阵A和任意反对称矩阵B,有A*B和B*A都是反对称矩阵。
6. 对于任意对称矩阵A和任意反对称矩阵B,有A+B是不对称矩阵。
实对称矩阵的六加四条性质
实对称矩阵的六条性质如下:
1. 实对称矩阵的特征根都为实数。
2. 实对称矩阵的特征向量为实向量。
3. 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交。
4. 实对称矩阵可以正交对角化,即存在一个正交矩阵P和对角线矩阵∧,使得A = P∧P^T。
5. 实对称矩阵的特征值是其对角化后的对角矩阵的元素。
6. 若实对称矩阵存在k重特征值,必然存在k个线性无关的特征向量。