用matlab分别编写拉格朗日插值函数和牛顿插值函数，并对f（x）=1/（1+x^2）进行高次插值，同时绘图。

在MATLAB中，你可以使用`polyfit`函数进行拉格朗日插值和牛顿插值。以下是一个简单的例子，我们将分别编写这两个函数并用于给定的函数`f(x) = 1 / (1 + x^2)`：

首先，我们需要创建一个函数`interpolate`，它接受输入数据、插值类型（这里可以选择“lagrange”或“newton”），以及需要插值的点数。

function y = interpolate(xdata, fdata, method, n)
    % 检查输入是否合法
    if ~exist('method', 'var') || strcmpi(method, '') || ~strcmpi(method, 'lagrange') && ~strcmpi(method, 'newton')
        error('Invalid interpolation method. Choose "lagrange" or "newton".');
    end

    % 拉格朗日插值函数
    if strcmpi(method, 'lagrange')
        basisPolys = lpolynomial(xdata, n);
    else
        basisPolys = npolynomial(xdata, n); % 牛顿插值函数（假设npolynomial是自定义函数）
    end

    % 使用插值多项式计算y值
    coefficients = polyfit(xdata, fdata, n);
    y = polyval(coefficients, x);

    % 绘制原始数据和插值结果
    plot(xdata, fdata, 'o', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Original Data');
    hold on;
    plot(x, y, '-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', ['Interpolation (' method ')']);
end

% 定义f(x)
f = @(x) 1 ./ (1 + x.^2);

% 创建一些数据点用于插值
xdata = linspace(-5, 5, 100); % 数据范围，可以根据需要调整
fdata = f(xdata);

% 选择插值次数n，例如5阶插值
n = 5;

% 进行拉格朗日插值和牛顿插值，并绘制
interp_lagrange = interpolate(xdata, fdata, 'lagrange', n);
interp_newton = interpolate(xdata, fdata, 'newton', n);

% 显示图形
legend show;
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
title(['Lagrange and Newton Interpolation for f(x) = 1/(1+x^2) - Degree ' num2str(n)]);
grid on;

为了完整地实现这个功能，你需要在MATLAB环境中有一个自定义的`npolynomial`函数，它根据牛顿插值公式生成多项式。如果没有内置函数，你可能需要在网上查找一个示例或自己编写这个函数。在这个脚本中，我们假设了`npolynomial`已经存在。