c++ 布尔背包dp

在 C++ 中，布尔背包（0-1 Knapsack Problem）是一种动态规划问题，用于解决物品分配问题，其中每个物品都有一个价值和重量，目标是在不超过背包容量的前提下选择物品，使得总价值最大。通常涉及二维数组（或称为状态表），其中 `dp[i][j]` 表示在前 i 件物品中选取总重量不超过 j 的物品的最大价值。

动态规划求解过程通常分为以下几个步骤：

1. 初始化：`dp[j] = 0` （当物品数为0或背包容量为0时，价值为0）；
2. 状态转移方程：对于第 i 件物品和背包容量 j，
- 如果物品 i 的重量大于当前背包容量 j，则不选这件物品，`dp[i][j] = dp[i-1][j]`；
- 否则，可以选择这件物品，`dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])`，即取或不取第 i 件物品，并选择价值更大的结果；
3. 结果：最终的解在 `dp[n][W]` 中，其中 n 是物品总数，W 是背包容量。

相关问题

c++ bool背包dp

在 C++ 中，"bool背包DP"通常指的是使用动态规划(Dynamic Programming)解决0-1背包问题，其中背包容量限制为布尔型（即只能装入物品与否），每个物品有一个价值和一个空间需求。这种问题可以用布尔数组来表示能否选择该物品，因为只有两种状态：可以装入（true）或不可以装入（false）。

动态规划算法通常包括以下几个步骤：

1. 定义状态：设 `dp[i][j]` 表示前 i 个物品中选哪些可以使总价值达到 j 的最大值。这里 j 可能为真（代表可以容纳所有物品）或者假（代表不能容纳某些物品）。

2. 状态转移方程：对于第 i+1 个物品，有两种情况：
- 如果当前物品不能放入背包（即 dp[i][j] 已经确定为 false），则无需考虑这个物品，`dp[i+1][j] = dp[i][j]`；
- 如果可以放入（即 dp[i][j-vi] 是 true，vi 是第 i 个物品的价值），那么可以选择它，`dp[i+1][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-vi] + wi)`，wi 是物品的价值。

3. 边界条件：初始化时，`dp = true` 和 `dp[j] = false (j > 0)`，表示没有物品时，无法达到任何非零价值。

4. 结果返回：最后的状态 `dp[n][W]` 就是整个背包问题的最大价值，其中 n 是物品的数量，W 是背包容量。

C++ DP背包问题

C++中的DP背包问题是一个经典的动态规划问题，用于解决在给定背包容量和一组物品的情况下，如何选择物品放入背包以使得总价值最大化的问题。下面是一个简单的示例代码来解决背包问题：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int knapsack(int W, vector<int>& wt, vector<int>& val, int n) {
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(W + 1, 0));

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int w = 1; w <= W; w++) {
            if (wt[i - 1] <= w) {
                dp[i][w] = max(val[i - 1] + dp[i - 1][w - wt[i - 1]], dp[i - 1][w]);
            } else {
                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
            }
        }
    }

    return dp[n][W];
}

int main() {
    int W = 50; // 背包容量
    vector<int> wt = {10, 20, 30}; // 物品重量
    vector<int> val = {60, 100, 120}; // 物品价值
    int n = wt.size(); // 物品数量

    int maxVal = knapsack(W, wt, val, n);
    cout << "Max value: " << maxVal << endl;

    return 0;
}

这段代码使用二维数组`dp`来保存每个子问题的最优解，其中`dp[i][w]`表示在前`i`个物品中选择，背包容量为`w`时的最大价值。通过遍历每个物品和背包容量，根据当前物品的重量和价值来更新`dp`数组。最后返回`dp[n][W]`即为问题的最优解。