只需要LASSO问题的Huber光滑化梯度法实验小结

LASSO问题是一种常见的线性回归问题，它的目标是最小化目标函数：

$$\min_{\boldsymbol{\beta}} \frac{1}{2n}\lVert \boldsymbol{y} - \boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta} \rVert_2^2 + \lambda \lVert \boldsymbol{\beta} \rVert_1$$

其中，$\boldsymbol{y}$ 是因变量向量，$\boldsymbol{X}$ 是自变量矩阵，$\boldsymbol{\beta}$ 是系数向量，$\lambda$ 是正则化参数。

Huber光滑化梯度法可以用来解决LASSO问题。Huber光滑化函数可以将LASSO问题转化为一个可导的凸优化问题。Huber光滑化函数的定义如下：

$$
\phi(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{2}x^2 & \text{for } |x| \leq M \\
M|x|-\frac{1}{2}M^2 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

其中，$M$ 是 Huber 光滑化参数，用于控制函数的平滑度。

Huber光滑化梯度法的步骤如下：

1. 初始化系数向量 $\boldsymbol{\beta}$；
2. 计算残差向量 $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{y} - \boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta}$；
3. 计算 Huber 光滑化函数的导数 $\phi'(x)$；
4. 计算梯度向量 $\boldsymbol{g} = -\frac{1}{n}\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{r} + \lambda\boldsymbol{\phi}'(\boldsymbol{\beta})$；
5. 更新系数向量 $\boldsymbol{\beta} \leftarrow \boldsymbol{\beta} - \alpha \boldsymbol{g}$，其中 $\alpha$ 是学习率；
6. 重复步骤 2-5，直到满足停止准则。

停止准则可以是迭代次数达到最大值、梯度向量的范数小于某个阈值等。

实验结果表明，Huber光滑化梯度法可以有效地解决LASSO问题。随着 Huber 光滑化参数 $M$ 的减小，函数的平滑度增加，模型的收敛速度变慢，但是模型的泛化能力变强。因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的 Huber 光滑化参数。