考虑 LASSO 问题: 2 2 1 1 minx 2 Ax b x − + µ 利用 Huber 光滑方法通过以光滑函数逼近 1 l − 范数,以在得到的可微函数上利用梯度 下降法对原问题近似求解。 我们在此展示 Huber 光滑化梯度法的应用。
时间: 2023-06-18 20:08:33 浏览: 142
Huber光滑方法可以将L1范数光滑化,并在可微函数上使用梯度下降法求解。考虑LASSO问题:
minimize x {1/2 ||Ax-b||^2 + μ||x||_1}
其中||x||_1是L1范数,我们可以使用Huber函数将其光滑化:
f(x) = ∑_i=1^n h(x_i)
其中h(x_i) = { 1/2 x_i^2 if |x_i| ≤ δ
δ(|x_i| - δ/2) if |x_i| > δ }
其中δ是Huber函数的参数,控制光滑化的程度。
我们可以将原问题转化为:
minimize x {1/2 ||Ax-b||^2 + μ f(x)}
我们可以在光滑函数上使用梯度下降法来求解这个问题。梯度可以通过对每个h(x_i)求导得到:
∂h(x_i)/∂x_i = { x_i if |x_i| ≤ δ
δ sign(x_i) if |x_i| > δ }
因此,我们可以使用以下更新规则来更新参数x:
x_i = x_i - α(∂f(x)/∂x_i)
其中α是学习率,可以根据实际情况进行调整。
我们可以使用这个方法来近似求解LASSO问题。
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首先,我们需要定义 Huber 光滑函数,它是一种比 L1 范数更光滑的函数,可以通过以下方式定义:
$$
\psi_\mu(x)=\begin{cases}
\frac{1}{2\mu}x^2 & \text{if } |x| \leq \mu \\
|x|-\frac{\mu}{2} & \text{if } |x| > \mu \\
\end{cases}
$$
其中,$\mu$ 是光滑化参数,一般取值较小。当 $x$ 的绝对值小于等于 $\mu$ 时,$\psi_\mu(x)$ 是一个关于 $x$ 的二次函数;当 $x$ 的绝对值大于 $\mu$ 时,$\psi_\mu(x)$ 是一个关于 $x$ 的线性函数。
接下来,我们可以将 LASSO 问题转化为以下形式:
$$
\min_x f(x) + g(x)
$$
其中,$f(x)=\frac{1}{2}\|Ax-b\|^2$,$g(x)=\lambda\sum_{i=1}^n\psi_\mu(x_i)$,$\lambda$ 是正则化参数。注意到 $g(x)$ 可以写成向量形式:
$$
g(x)=\lambda\sum_{i=1}^n\psi_\mu(x_i)=\lambda\|\Psi_\mu(x)\|_1
$$
其中,$\Psi_\mu(x)$ 是一个 $n$ 维向量,第 $i$ 个元素为 $\psi_\mu(x_i)$。
现在我们可以使用梯度下降法来求解上述问题。对于 $f(x)$,它的梯度为 $\nabla f(x)=A^T(Ax-b)$;对于 $g(x)$,我们可以利用 $\|\cdot\|_1$ 的次梯度来计算其次梯度:
$$
\partial \|\Psi_\mu(x)\|_1 = \lambda \text{sign}(\Psi_\mu(x)) \circ \partial \psi_\mu(x)
$$
其中,$\circ$ 表示元素乘法,$\text{sign}$ 表示符号函数,$\partial \psi_\mu(x)$ 是 $\psi_\mu(x)$ 的次梯度。根据 $\psi_\mu(x)$ 的定义,我们可以得到:
$$
\partial \psi_\mu(x)=\begin{cases}
\frac{1}{\mu}x & \text{if } |x| \leq \mu \\
\text{sign}(x) & \text{if } |x| > \mu \\
\end{cases}
$$
因此,$g(x)$ 的次梯度为:
$$
\partial g(x) = \begin{cases}
\lambda \frac{x}{\mu} & \text{if } |x| \leq \mu \\
\lambda \text{sign}(x) & \text{if } |x| > \mu \\
\end{cases}
$$
最后,我们可以使用以下代码来实现 Huber 光滑化梯度下降算法:
```python
import numpy as np
def psi_mu(x, mu):
if abs(x) <= mu:
return 0.5 * x**2 / mu
else:
return abs(x) - 0.5 * mu
def grad_psi_mu(x, mu):
if abs(x) <= mu:
return x / mu
else:
return np.sign(x)
def grad_f(x, A, b):
return A.T @ (A @ x - b)
def grad_g(x, mu, lam):
return lam * np.array([grad_psi_mu(xi, mu) for xi in x])
def huber_grad_descent(x0, A, b, mu, lam, lr, tol, max_iter):
x = x0.copy()
for i in range(max_iter):
grad = grad_f(x, A, b) + grad_g(x, mu, lam)
x -= lr * grad
if np.linalg.norm(grad) < tol:
break
return x
```
其中,`x0` 是初始解,`A` 和 `b` 是 LASSO 问题中的系数矩阵和常数向量,`mu` 是光滑化参数,`lam` 是正则化参数,`lr` 是学习率,`tol` 是收敛阈值,`max_iter` 是最大迭代次数。
考虑基追踪问题: min||x||1 ,s.t.Ax=b, 其为一个线性等式约束的非光滑优化问题,使用二次罚函数作用于等式约束则得到LASSO问题: 其中min||x||1+σ/2||Ax-b||2,其中σ为罚因子。如何求解?
可以使用交替方向乘子法(ADMM)求解LASSO问题。具体步骤如下:
1. 将原问题转化为等价的带有惩罚项的无约束问题:
minimize ||x||1 + (σ/2)||z||2
subject to Ax - z = b
其中,x是待求解的变量,z是引入的辅助变量。
2. 使用ADMM算法求解:
(1)初始化变量:x、z、u。
(2)重复以下步骤直到收敛:
(a) 固定z和u,求解x的最小化问题:
minimize ||x||1 + (ρ/2)||Ax - z + b + u||2
其中,ρ是一个正的参数。
这个问题可以使用一些基于梯度下降的算法求解,比如proximal gradient method。
(b) 固定x和u,求解z的最小化问题:
minimize (σ/2)||z||2 + (ρ/2)||Ax - z - b - u||2
这个问题可以直接求解z的最小二乘问题。
(c) 更新u:
u = u + Ax - z - b
(d) 检查精度是否足够,如果足够,则停止迭代。
ADMM算法可以有效地求解LASSO问题,尤其对于大规模数据求解有较好的性能。
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