梯度算法的软件实现 实例：利用梯度法解 LASSO 问题 考虑 LASSO 问题： 2 2 1 1 minx 2 Ax b x µ − + 利用 Huber 光滑方法通过以光滑函数逼近l 1 − 范数，以在得到的可微函数上利用梯度 下降法对原问题近似求解。 我们在此展示 Huber 光滑化梯度法的应用。

首先，我们需要定义 Huber 光滑函数，它是一种比 L1 范数更光滑的函数，可以通过以下方式定义：

$$
\psi_\mu(x)=\begin{cases}
\frac{1}{2\mu}x^2 & \text{if } |x| \leq \mu \\
|x|-\frac{\mu}{2} & \text{if } |x| > \mu \\
\end{cases}
$$

其中，$\mu$ 是光滑化参数，一般取值较小。当 $x$ 的绝对值小于等于 $\mu$ 时，$\psi_\mu(x)$ 是一个关于 $x$ 的二次函数；当 $x$ 的绝对值大于 $\mu$ 时，$\psi_\mu(x)$ 是一个关于 $x$ 的线性函数。

接下来，我们可以将 LASSO 问题转化为以下形式：

$$
\min_x f(x) + g(x)
$$

其中，$f(x)=\frac{1}{2}\|Ax-b\|^2$，$g(x)=\lambda\sum_{i=1}^n\psi_\mu(x_i)$，$\lambda$ 是正则化参数。注意到 $g(x)$ 可以写成向量形式：

$$
g(x)=\lambda\sum_{i=1}^n\psi_\mu(x_i)=\lambda\|\Psi_\mu(x)\|_1
$$

其中，$\Psi_\mu(x)$ 是一个 $n$ 维向量，第 $i$ 个元素为 $\psi_\mu(x_i)$。

现在我们可以使用梯度下降法来求解上述问题。对于 $f(x)$，它的梯度为 $\nabla f(x)=A^T(Ax-b)$；对于 $g(x)$，我们可以利用 $\|\cdot\|_1$ 的次梯度来计算其次梯度：

$$
\partial \|\Psi_\mu(x)\|_1 = \lambda \text{sign}(\Psi_\mu(x)) \circ \partial \psi_\mu(x)
$$

其中，$\circ$ 表示元素乘法，$\text{sign}$ 表示符号函数，$\partial \psi_\mu(x)$ 是 $\psi_\mu(x)$ 的次梯度。根据 $\psi_\mu(x)$ 的定义，我们可以得到：

$$
\partial \psi_\mu(x)=\begin{cases}
\frac{1}{\mu}x & \text{if } |x| \leq \mu \\
\text{sign}(x) & \text{if } |x| > \mu \\
\end{cases}
$$

因此，$g(x)$ 的次梯度为：

$$
\partial g(x) = \begin{cases}
\lambda \frac{x}{\mu} & \text{if } |x| \leq \mu \\
\lambda \text{sign}(x) & \text{if } |x| > \mu \\
\end{cases}
$$

最后，我们可以使用以下代码来实现 Huber 光滑化梯度下降算法：

import numpy as np

def psi_mu(x, mu):
    if abs(x) <= mu:
        return 0.5 * x**2 / mu
    else:
        return abs(x) - 0.5 * mu

def grad_psi_mu(x, mu):
    if abs(x) <= mu:
        return x / mu
    else:
        return np.sign(x)

def grad_f(x, A, b):
    return A.T @ (A @ x - b)

def grad_g(x, mu, lam):
    return lam * np.array([grad_psi_mu(xi, mu) for xi in x])

def huber_grad_descent(x0, A, b, mu, lam, lr, tol, max_iter):
    x = x0.copy()
    for i in range(max_iter):
        grad = grad_f(x, A, b) + grad_g(x, mu, lam)
        x -= lr * grad
        if np.linalg.norm(grad) < tol:
            break
    return x

其中，`x0` 是初始解，`A` 和 `b` 是 LASSO 问题中的系数矩阵和常数向量，`mu` 是光滑化参数，`lam` 是正则化参数，`lr` 是学习率，`tol` 是收敛阈值，`max_iter` 是最大迭代次数。