考虑基追踪问题： min||x||1 ,s.t.Ax=b, 其为一个线性等式约束的非光滑优化问题，使用二次罚函数作用于等式约束则得到LASSO问题： 其中min||x||1+σ/2||Ax-b||2，其中σ为罚因子。如何求解？

可以使用交替方向乘子法（ADMM）求解LASSO问题。具体步骤如下：

1. 将原问题转化为等价的带有惩罚项的无约束问题：

minimize ||x||1 + (σ/2)||z||2

subject to Ax - z = b

其中，x是待求解的变量，z是引入的辅助变量。

2. 使用ADMM算法求解：

（1）初始化变量：x、z、u。

（2）重复以下步骤直到收敛：

(a) 固定z和u，求解x的最小化问题：

minimize ||x||1 + (ρ/2)||Ax - z + b + u||2

其中，ρ是一个正的参数。

这个问题可以使用一些基于梯度下降的算法求解，比如proximal gradient method。

(b) 固定x和u，求解z的最小化问题：

minimize (σ/2)||z||2 + (ρ/2)||Ax - z - b - u||2

这个问题可以直接求解z的最小二乘问题。

(c) 更新u：

u = u + Ax - z - b

(d) 检查精度是否足够，如果足够，则停止迭代。

ADMM算法可以有效地求解LASSO问题，尤其对于大规模数据求解有较好的性能。

相关问题

针对二次规划问题$$ \begin{aligned} \min_{x} & x^{T}Qx \ \text{s.t.} & Ax-b>=0 & Cx-d=0 \end{aligned} $$，写出其KKT条件

抱歉，我的回答似乎被截断了。让我重新回答你的问题：

针对二次规划问题$$ \begin{aligned} \min_{x} & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\ \text{s.t.} & Ax \geq b \end{aligned} $$

其中 $Q$ 是一个对称矩阵，$A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$b$ 是一个 $m$ 维向量，$c$ 是一个 $n$ 维向量。这里我们假设 $Q$ 是正定的。

求解二次规划问题的一种常用方法是使用内点法。内点法的基本思想是将约束条件转化为等式约束，然后将目标函数转化为一个等价的函数，使得它是在约束区域之内的。然后，通过不断地向约束区域的内部靠近，来求解最优解。

内点法的具体实现方式有很多种，其中比较常用的是预测-校正方法。该方法分为两个步骤，预测步骤和校正步骤。预测步骤是在当前可行点的邻域内预测下一个可行点，并将其作为下一步的起点。校正步骤是通过求解一个线性方程组来计算下一个可行点，并将其作为新的可行点。重复进行这两个步骤，直到找到最优解。

内点法的优点是可以处理大规模的二次规划问题，但是它的缺点是需要对目标函数进行变换，而且计算量较大。同时，内点法也有一些变种方法，如基于路径跟踪的内点法等，可以根据具体情况选择合适的方法。

计算下列优化问题的对偶问题：(c) min x∈Rn ∥Ax − b∥∞;

考虑原始问题：

$$\min_{x \in \mathbb{R}^n} \|Ax-b\|_{\infty}$$

其中，$A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，$b$ 是 $m$ 维向量，$\|\cdot\|_{\infty}$ 表示向量的无穷范数，即向量中绝对值最大的元素。

将 $\|\cdot\|_{\infty}$ 表示为一系列线性不等式的形式，即：

$$\|v\|_{\infty} \leq t \iff -t \leq v_i \leq t, \forall i=1,2,\ldots,n$$

则原始问题可以表示为：

$$\min_{x \in \mathbb{R}^n} t$$

$$\text{s.t.} \quad -t \leq (Ax-b)_i \leq t, \quad \forall i=1,2,\ldots,m$$

将上述问题转化为拉格朗日对偶问题，定义拉格朗日函数：

$$L(x,t,\lambda,\mu) = t + \sum_{i=1}^{m}\lambda_i (Ax-b)_i - \sum_{i=1}^{m}\mu_i(Ax-b)_i - \sum_{i=1}^{n}\nu_i(-t-x_i)+\sum_{i=1}^{n}\omega_i(t-x_i)$$

其中，$\lambda_i$、$\mu_i$、$\nu_i$、$\omega_i$ 都是拉格朗日乘子，并满足 $\lambda_i \geq 0$、$\mu_i \geq 0$、$\nu_i \geq 0$、$\omega_i \geq 0$。

对 $x$ 求导，并令导数为 $0$，得到：

$$\frac{\partial L(x,t,\lambda,\mu,\nu,\omega)}{\partial x_i} = \sum_{j=1}^{m} A_{ji}(\lambda_j - \mu_j) - \nu_i + \omega_i = 0, \quad \forall i=1,2,\ldots,n$$

对 $t$ 求导，并令导数为 $0$，得到：

$$\frac{\partial L(x,t,\lambda,\mu,\nu,\omega)}{\partial t} = 1 - \sum_{i=1}^{n}(\nu_i + \omega_i) = 0$$

将上述式子代入拉格朗日函数，得到对偶函数：

$$g(\lambda,\mu,\nu,\omega) = \inf_{x,t} L(x,t,\lambda,\mu,\nu,\omega) = \sum_{i=1}^{m}b_i\lambda_i - \sum_{i=1}^{m}\lambda_i\left(\sum_{j=1}^{n}A_{ij}\mu_j\right) - \sum_{i=1}^{n}\nu_i t - \sum_{i=1}^{n}\omega_i x_i$$

对偶问题为：

$$\max_{\lambda \geq 0, \mu \geq 0, \nu \geq 0, \omega \geq 0} g(\lambda,\mu,\nu,\omega)$$

$$\text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^{m}A_{ij}(\lambda_i - \mu_i) - \nu_j + \omega_j = 0, \quad \forall j=1,2,\ldots,n$$

$$\quad \sum_{i=1}^{n}(\nu_i + \omega_i) = 1$$

对偶问题的目标是最大化 $g(\lambda,\mu,\nu,\omega)$，约束条件包括 $\lambda \geq 0$、$\mu \geq 0$、$\nu \geq 0$、$\omega \geq 0$、以及一组线性等式约束。