已知线性规划 用单纯形方法编程实现它的最优解

单纯性法是一种常见的线性规划求解方法，其基本思路是从初始可行解出发，通过不断地在可行域内移动，最终到达最优解。下面是单纯性法的基本步骤：

1. 将线性规划标准化为标准型（即将不等式约束转化为等式约束，将非负变量转化为非负约束）；

2. 将标准型写成矩阵形式：$Ax=b$，$x\geq 0$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 的系数矩阵，$b$ 是常数向量，$x$ 是决策变量向量；

3. 初始可行解：选择一个满足约束条件的解作为初始可行解；

4. 计算目标函数值：计算当前解的目标函数值；

5. 选择入基变量：选择一个非基变量作为入基变量，使得将该变量纳入基变量后可以使目标函数值增大；

6. 选择出基变量：选择一个基变量作为出基变量，使得将该变量移出基变量后可以保持可行性；

7. 更新解：根据新的入基变量和出基变量，更新解；

8. 判断是否达到最优解：如果当前解已经是最优解，则结束计算；否则，回到步骤 4。

下面是单纯性法的 Python 代码实现：

import numpy as np

def simplex(A, b, c):
    """
    单纯性法求解线性规划
    A: 系数矩阵，m*n
    b: 常数向量，m*1
    c: 目标函数系数向量，n*1
    return: 最优解向量，n*1；最优解的目标函数值
    """
    # 将标准型写成矩阵形式：Ax=b，x>=0
    m, n = A.shape
    B = np.eye(m)  # 基变量系数矩阵，m*m
    N = np.eye(n-m)  # 非基变量系数矩阵，(n-m)*(n-m)
    A = np.hstack((B, N)) @ A  # 增广矩阵，m*n
    c_B = np.zeros((m, 1))  # 基变量对应的目标函数系数向量，m*1
    c_N = c.reshape(n-m, 1)  # 非基变量对应的目标函数系数向量，(n-m)*1
    c = np.vstack((c_B, c_N))  # 增广目标函数系数向量，n*1
    x_B = b  # 初始可行解，m*1
    x_N = np.zeros((n-m, 1))  # 非基变量取值为 0，(n-m)*1
    x = np.vstack((x_B, x_N))  # 增广解向量，n*1

    while True:
        # 计算目标函数值
        z = c_B.T @ x_B
        # 选择入基变量
        candidates = []
        for j in range(n):
            if j not in np.arange(m):
                a_j = A[:, j].reshape(m, 1)  # 非基变量系数列向量，m*1
                if (a_j > 0).all():  # 判断是否可行方向
                    candidates.append(j)
        if len(candidates) == 0:  # 最优解已经达到
            return x_N, z
        j = min(candidates, key=lambda j: c[j])  # 选择入基变量
        # 选择出基变量
        theta = np.inf
        for i in range(m):
            if A[i, j] > 0:  # 判断是否可行
                t = x_B[i] / A[i, j]
                if t < theta:
                    theta = t
                    k = i  # 记录出基变量的下标
        # 更新解
        x_B[k] = theta
        x_N[j-m] = theta
        x = np.vstack((x_B, x_N))
        E = np.eye(m)
        E[:, k] = A[:, j]
        A = A @ np.linalg.inv(E)  # 利用初等矩阵进行行变换
        B[:, k] = A[:, j]  # 更新基变量系数矩阵
        c_B = c[np.arange(m)]  # 更新基变量对应的目标函数系数向量
        c_N = c[np.arange(m, n)].reshape(n-m, 1)  # 更新非基变量对应的目标函数系数向量
        c = np.vstack((c_B, c_N))  # 更新增广目标函数系数向量

注意：上述实现中，为了方便起见，我们假设线性规划都是可行的。在实际应用中，需要加入检验不可行的情况，并且在求解过程中可能会出现数值精度问题，需要进行一定的处理。