已知线性规划问题 min 12x1+8x2+16x3+12x4 , s.t. 2x1+x2+4x3>=2 2x1+2x2+4x4>=3 xj>=0,j=1,2,3,4. 设计对偶单纯形法的算法，求解线性规划问题的最优解和最优目标函数值。用python编程实现

对于线性规划问题 min 12x1+8x2+16x3+12x4 , s.t. 2x1+x2+4x3>=2, 2x1+2x2+4x4>=3, xj>=0,j=1,2,3,4，其对偶问题为 max 2y1+3y2 , s.t. 2y1+2y2<=12, y1+2y2<=8, 4y1+4y2<=16, y2<=12，其中 yj>=0,j=1,2。

对偶单纯形法的算法如下：

1. 初始化，令基本变量为y1,y2，非基本变量为0，求出对偶问题的初始解。

2. 对偶单纯形迭代：

（1）计算出当前对偶问题的解在原问题中的可行解，即计算出x1，x2，x3，x4。

（2）计算出原问题的目标函数值。

（3）如果原问题的目标函数值不为最优，则继续迭代；否则停止迭代。

3. 返回原问题的最优解和最优目标函数值。

Python代码实现如下：

相关问题

已知线性规划问题 min 12x1+8x2+16x3+12x4 , s.t. 2x1+x2+4x3>=2 2x1+2x2+4x4>=3 xj>=0,j=1,2,3,4. 设计对偶单纯形法的算法，求解线性规划问题的最优解和最优目标函数值。

对于线性规划问题，我们可以先写出其标准形式:

min 12x1+8x2+16x3+12x4

s.t.

2x1+x2+4x3+s1=2

2x1+2x2+4x4+s2=3

xj>=0,j=1,2,3,4

其中，s1和s2分别为松弛变量。接下来，我们可以写出对应的对偶问题:

max 2y1+3y2

s.t.

2y1+2y2<=12

y1+2y2<=8

4y1+4y2<=16

y1,y2>=0

其中，y1和y2分别为对应的约束条件的对偶变量。接下来，我们可以使用对偶单纯形法求解对偶问题。

首先，我们需要构造初始可行解。根据对偶问题的约束条件，我们可以选择y1=y2=0作为初始可行解。这时，我们可以计算出对应的目标函数值为0。

接下来，我们需要进行迭代，直到找到最优解。具体地，每次迭代分为两个步骤：找到一个非基变量使得目标函数可以增加（称为入基变量），找到一个基变量使得约束条件得到满足（称为出基变量）。对于对偶单纯形法，找入基变量和出基变量的方法和原始单纯形法是相反的。

对于入基变量，我们需要找到一个对应的约束条件的对偶变量使得其系数为正，且其对应的目标函数值可以增加最多。在本例中，我们有三个对应的约束条件的对偶变量，分别是y1、y2和y3。计算它们对应的目标函数值分别为0、0和0。因此，我们任选一个系数为正的对偶变量作为入基变量。在本例中，我们选择y1作为入基变量。

对于出基变量，我们需要找到一个对应的非基变量使得其系数不为0，且其对应的约束条件得到满足，并且其对应的目标函数值可以增加最少。在本例中，我们有四个非基变量，分别是x1、x2、x3和x4。计算它们对应的目标函数值分别为2、3、0和0。因此，我们需要找到一个系数不为0的非基变量，使得其对应的约束条件得到满足，并且其对应的目标函数值可以增加最少。

我们可以使用每个非基变量对应的约束条件的系数除以该非基变量对应的目标函数系数的值来计算增加目标函数值的比率。即，对于每个非基变量i，计算bi/aij的值，其中bi是对应的约束条件的右侧常数，aij是非基变量i在约束条件j中的系数。选择增加目标函数值最少的非基变量对应的约束条件的基变量作为出基变量。在本例中，计算得到x1对应的增加比率最小，因此选择x1对应的约束条件的松弛变量s1作为出基变量。

现在，我们需要对入基变量和出基变量进行交换，然后更新对偶变量和目标函数值。具体地，我们可以使用高斯-约旦消元法求解出新的基变量系数矩阵，并计算对应的对偶变量和目标函数值。在本例中，通过计算，可以得到新的对偶变量为y1=1、y2=0、y3=0，并且目标函数值为2。

接下来，我们可以继续进行迭代，直到找到最优解。在本例中，第二次迭代中，我们选择x3作为入基变量，选择s2作为出基变量。通过计算，可以得到新的对偶变量为y1=5/4、y2=1/4、y3=0，并且目标函数值为29/2。由于所有非基变量对应的目标函数系数都为0或负数，因此已经找到了最优解。

因此，对偶单纯形法求解线性规划问题的最优解为x1=0、x2=3/4、x3=1/4、x4=0，并且最优目标函数值为29/2。

已知线性规划问题 min 12x1+8x2+16x3+12x4, s.t. 2x1+x2+4x3>=2, 2x1+2x2 +4x4>=3, xj>=0, j=1,...,4. 采用对偶单纯形法， 求出该问题的最优解和最优目标函数值。

首先将原始问题转化为标准形式：

min 12x1+8x2+16x3+12x4

s.t. 2x1+x2+4x3+x5=2

2x1+2x2+4x4+x6=3

xj>=0, j=1,...,6

其中x5和x6为人工变量，目标函数中没有它们的系数。

接下来构造对偶问题：

max 2y1+3y2

s.t. 2y1+2y2<=12

y1+y2<=8

4y1+4y2<=16

y1,y2>=0

其中y1和y2为对应的约束条件的对偶变量。

接下来使用对偶单纯形法求解对偶问题，得到最优解为y1=2，y2=3，最优目标函数值为2*2+3*3=13。

最后，根据对偶理论，原始问题的最优解等于对偶问题的最优解，即最优解为x1=0，x2=0，x3=1/2，x4=0，最优目标函数值为13/2。