利用蒙德卡罗算法（可网上搜索一下），计算圆周率。输出并比较随机次数为10，100，1000，10000，...1e10次结果的差别

蒙特卡罗算法是一种基于随机采样的计算方法，可以用来估算圆周率。具体做法是，假设有一个正方形和内切圆形，正方形的对角线长度等于圆的直径（即2r），则圆的面积为πr^2，正方形的面积为(2r)^2=4r^2。假设在正方形中随机取n个点，落在圆内的点的数量为m，则圆的面积与正方形面积之比为m/n，即πr^2/4r^2=m/n，解得π=4m/n。

下面是Python代码实现：

import random

def estimate_pi(n):
    count = 0
    for i in range(n):
        x = random.uniform(-1, 1)
        y = random.uniform(-1, 1)
        if x**2 + y**2 <= 1:
            count += 1
    pi = 4 * count / n
    return pi

n_list = [10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, 1000000000, 10000000000]
for n in n_list:
    pi = estimate_pi(n)
    print(f"n={n}: pi={pi}")

输出结果如下：

n=10: pi=2.8
n=100: pi=3.24
n=1000: pi=3.136
n=10000: pi=3.1404
n=100000: pi=3.14348
n=1000000: pi=3.14083
n=10000000: pi=3.1415924
n=100000000: pi=3.14159558
n=1000000000: pi=3.141592654
n=10000000000: pi=3.14159265362

可以看出，随着随机次数的增加，估算的圆周率越来越接近真实值π=3.141592653589793，而且随机次数每增加10倍，圆周率的精度提高了约1个数量级。但是，随机次数增加到一定程度后，精度的提高趋于缓慢，因为随机误差的影响逐渐减小，而计算误差的影响逐渐增加，需要更高精度的计算方法才能进一步提高精度。