动态规划三元组最小距离 用动态规划求解

动态规划三元组最小距离问题通常涉及在一个序列或数组中找到三个元素，使得它们之间的最小差值最大化。这个问题可以看作是一个优化版本的三点选择问题。给定一个整数数组 `nums` 和长度 `n`，我们想要找出三个不同的索引 `i`, `j`, `k`，使得 `|nums[i] - nums[j]| + |nums[j] - nums[k]| + |nums[i] - nums[k]|` 最小。

解决此问题的一个常见算法是使用动态规划的二维状态数组，通常命名为 dp。我们可以设置两个状态：

1. dp[i][0] 表示在前 i 个元素中找到的最大差值，其中没有包含第 i 个元素。
2. dp[i][1] 表示在前 i 个元素中找到的最大差值，其中包含了第 i 个元素。

初始化dp数组时，dp[0][0] = dp[0][1] = 0，因为只有一个元素时，最大差值就是该元素本身。

然后，对于每个索引 `i`，从 `1` 到 `n-2`，我们更新这两个状态：

- dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - nums[i])
- dp[i][1] = max(dp[i-1][0] + nums[i], dp[i-1][1])

最后，dp[n-2][0] 就是最小的三元组差值。这个过程利用了子问题重叠的性质，避免了重复计算。

相关问题

用C语言 已知含有n个顶点的带权连通无向图，采用邻接矩阵存储，邻接矩阵以三元组的形式给出，只给出不包括主对角线元素在内的下三角形部分的元素，且不包括不相邻的顶点对。求该连通图的最小生成树的权值

这个问题可以使用 Prim 或 Kruskal 算法求解，我们以 Prim 算法为例。

Prim 算法的基本思想是从一个顶点出发，不断扩展最小生成树，每次找到与当前最小生成树相邻的边中权值最小的边，将其加入最小生成树中，直到所有顶点都被加入最小生成树为止。

具体实现时，我们可以用一个数组记录每个顶点是否已经被加入最小生成树，以及到当前最小生成树的最短距离，然后每次选择未加入最小生成树且到当前最小生成树距离最短的顶点加入最小生成树，并更新其他顶点到最小生成树的距离。

以下是用 C 语言实现 Prim 算法的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>

#define MAXN 1000 // 最大顶点数
#define INF INT_MAX // 无穷大

int n; // 顶点数
int w[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵
int d[MAXN]; // 到最小生成树的距离
int vis[MAXN]; // 是否已加入最小生成树

int prim() {
    int i, j, k;
    int sum = 0;
    for (i = 1; i < n; i++) {
        d[i] = w[0][i];
        vis[i] = 0;
    }
    vis[0] = 1;
    for (i = 1; i < n; i++) {
        int min = INF, u;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (!vis[j] && d[j] < min) {
                min = d[j];
                u = j;
            }
        }
        vis[u] = 1;
        sum += min;
        for (k = 0; k < n; k++) {
            if (!vis[k] && w[u][k] < d[k]) {
                d[k] = w[u][k];
            }
        }
    }
    return sum;
}

int main() {
    int i, j;
    scanf("%d", &n);
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j <= i; j++) {
            scanf("%d", &w[i][j]);
            w[j][i] = w[i][j]; // 填充上三角
        }
    }
    int ans = prim();
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

这段代码输入包括顶点数和下三角形部分的邻接矩阵，输出最小生成树的权值。注意这里我们填充了上三角，使得邻接矩阵变成了完整的矩阵。

分支限界法优先队列求解旅行商

### 使用分支限界法和优先队列解决旅行商问题

#### 解决方案概述
为了有效地求解旅行商问题 (TSP)，可以采用分支限界算法并结合优先队列优化搜索过程。这种方法通过构建部分路径树，在每一步选择最有希望的节点扩展，从而减少不必要的计算。

#### 数据结构设计
定义一个类 `Node` 来表示当前状态下的城市访问情况以及相应的代价估计：

class Node:
    def __init__(self, path, cost, level):
        self.path = path  # 当前经过的城市序列
        self.cost = cost  # 到达此位置已花费的成本加上剩余最小可能成本
        self.level = level  # 已经决定过的城市数量
        
    def estimate(self): 
        return self.cost + remaining_min_cost(self.path[-1], set(range(n)) - set(self.path))

其中函数 `remaining_min_cost(start_city, unvisited_cities)` 计算从起始城市到未访问城市的最短距离之和作为启发式的下界估计[^1]。

#### 构建初始节点
创建根节点代表尚未出发的状态，并将其加入优先级队列中等待处理：

import heapq

def tsp_branch_and_bound(dist_matrix):
    n = len(dist_matrix)
    
    start_node = Node([0], 0, 0)  # 假设从第0个城市开始
    
    pq = []                       # 初始化优先队列
    heapq.heappush(pq, (start_node.estimate(), id(start_node), start_node))

这里使用三元组 `(priority, unique_id, node)` 插入堆以确保相同优先级情况下不会因为比较对象而报错；同时利用 Python 的内置模块 `heapq` 实现高效管理最小堆操作[^2]。

#### 主循环逻辑
不断取出具有最低预期总费用的部分解决方案直到找到完整的环游路线为止：

while pq:
    _, _, current = heapq.heappop(pq)

    if is_complete_solution(current):
        break

    for next_city in get_unvisited_neighbors(current.path[-1]):
        new_path = list(current.path) + [next_city]
        new_level = current.level + 1
        new_cost = compute_partial_cost(new_path)

        child_node = Node(new_path, new_cost, new_level)
        
        if not dominated_by_existing_solutions(child_node, pq):
            heapq.heappush(pq, (child_node.estimate(), id(child_node), child_node))

return reconstruct_tour_from_final_node(current)

上述伪代码片段展示了核心迭代流程：对于每一个新产生的子结点，先判断其是否优于已有候选项再决定是否继续探索该方向。最终返回最优解对应的完整遍历顺序[^3]。