编写计算程序用迦辽金方法求解泊松方程。

泊松方程是一个二阶偏微分方程，通常写作：

∇²u(x,y)=f(x,y)

其中，u(x,y)是未知函数，f(x,y)是已知函数，∇²是拉普拉斯算子，表示二阶导数之和。

迦辽金方法是一种数值求解偏微分方程的方法，基本思想是将区域离散化为网格，然后在网格上近似求解方程。

以下是使用迦辽金方法求解泊松方程的 Python 代码：

import numpy as np

# 定义区域大小和网格数量
L = 1  # 区域长度
N = 11  # 网格数量
h = L / (N - 1)  # 网格间距

# 定义初始解
u = np.zeros((N, N))

# 定义边界条件
u[0, :] = 0  # 上边界
u[N-1, :] = 0  # 下边界
u[:, 0] = 0  # 左边界
u[:, N-1] = 0  # 右边界

# 定义迭代次数和容差
max_iter = 10000  # 最大迭代次数
tol = 1e-4  # 容差

# 迭代求解
for k in range(max_iter):
    u_old = u.copy()  # 备份上一次迭代的解

    # 更新内部网格点的解
    for i in range(1, N-1):
        for j in range(1, N-1):
            u[i, j] = 0.25 * (u[i-1, j] + u[i+1, j] + u[i, j-1] + u[i, j+1] - h**2 * f[i, j])

    # 判断是否收敛
    diff = np.max(np.abs(u - u_old))
    if diff < tol:
        break

# 输出结果
print(u)

其中，关键部分是更新内部网格点的解的循环：

for i in range(1, N-1):
    for j in range(1, N-1):
        u[i, j] = 0.25 * (u[i-1, j] + u[i+1, j] + u[i, j-1] + u[i, j+1] - h**2 * f[i, j])

在每次迭代中，使用当前解的四个相邻点的值，通过迦辽金公式计算出该点的解。最终的解通过多次迭代逐步逼近真实解，直到满足容差为止。