伽辽金法求解一维泊松方程python实现

一维泊松方程可以用伽辽金法（Gauss-Seidel Method）求解。下面是一个Python实现的例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义解析解
def u(x):
    return np.sin(np.pi * x)

# 定义计算函数f(x)
def f(x):
    return -np.pi**2 * np.sin(np.pi * x)

# 设置参数
N = 100 # 离散化网格数量
a = 0 # 区间左端点
b = 1 # 区间右端点
h = (b - a) / N # 离散化步长

# 初始化
x = np.linspace(a, b, N+1)
U = np.zeros(N+1)
U[0] = u(a)
U[N] = u(b)

# 迭代求解
tol = 1e-6 # 求解精度
maxiter = 10000 # 最大迭代次数
for k in range(maxiter):
    for i in range(1, N):
        U[i] = 0.5 * (U[i-1] + U[i+1] - h**2 * f(x[i]))
    # 判断收敛性
    if np.max(np.abs(U - u(x))) < tol:
        break

# 绘制结果
plt.plot(x, U, label='Numerical')
plt.plot(x, u(x), label='Analytical')
plt.legend()
plt.show()

其中，`u(x)`是泊松方程的解析解，`f(x)`是计算函数，`N`是网格数量，`a`和`b`是区间左右端点，`h`是离散化步长，`U`是数值解，`tol`是求解精度，`maxiter`是最大迭代次数。

该代码使用离散化的方式求解泊松方程，将区间[a,b]均匀地分成N个网格。然后使用伽辽金法进行迭代求解，直到达到预设的求解精度为止。最后将数值解和解析解绘制在同一张图上进行比较。