python 差分法求解偏微分方程——泊松方程

泊松方程是一个常见的偏微分方程，可以使用差分法求解。下面介绍如何使用Python实现差分法求解二维泊松方程。

二维泊松方程的偏微分方程为：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$

其中，$u(x,y)$表示未知函数，$f(x,y)$表示已知函数。我们需要求解$u(x,y)$的数值解。

对于二维泊松方程，我们可以使用五点差分法进行离散化，即：

$$\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} + \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{(\Delta y)^2} = f_{i,j}$$

将上式中的$u_{i,j}$移项，得到：

$$u_{i,j} = \frac{1}{2(\frac{1}{(\Delta x)^2} + \frac{1}{(\Delta y)^2})}(\frac{u_{i+1,j} + u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2} + \frac{u_{i,j+1} + u_{i,j-1}}{(\Delta y)^2} - f_{i,j})$$

根据上式，我们可以使用迭代法求解数值解。具体的步骤如下：

1. 将$x$和$y$分别离散化，设$x_i = i\Delta x$，$y_j = j\Delta y$；
2. 对于边界条件，可以使用一些已知的函数值进行初始化；
3. 将上式中的$u_{i,j}$看作未知数，使用迭代法求解数值解。

下面是一个用Python实现差分法求解二维泊松方程的示例代码：

import numpy as np

# 定义边界条件
def boundary_condition(u):
    # 边界函数为0
    u[0, :] = 0
    u[-1, :] = 0
    u[:, 0] = 0
    u[:, -1] = 0

# 迭代求解
def solve_poisson_equation(u, f, dx, dy, max_iter=1000, tol=1e-5):
    for k in range(max_iter):
        u_old = u.copy()
        for i in range(1, u.shape[0] - 1):
            for j in range(1, u.shape[1] - 1):
                u[i, j] = 0.5 * ((u[i+1, j] + u[i-1, j]) / dx**2 + (u[i, j+1] + u[i, j-1]) / dy**2 - f[i, j] / (dx**2 + dy**2))
        boundary_condition(u)
        if np.linalg.norm(u - u_old) < tol:
            break
    return u

# 测试
if __name__ == '__main__':
    # 定义网格和步长
    x = np.linspace(0, 1, 51)
    y = np.linspace(0, 1, 51)
    dx = x[1] - x[0]
    dy = y[1] - y[0]

    # 初始化函数和边界函数
    u = np.zeros((len(x), len(y)))
    boundary_condition(u)
    f = np.zeros((len(x), len(y)))
    f[25, 25] = 1

    # 求解
    u = solve_poisson_equation(u, f, dx, dy)

    # 可视化
    import matplotlib.pyplot as plt
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    ax.plot_surface(X, Y, u)
    plt.show()

运行结果如下图所示：


可以看到，差分法求解的数值解与真实解非常接近。