编写计算程序用迦辽金方法求解泊松方程
时间: 2023-06-20 07:09:14 浏览: 60
为了使用迦辽金方法求解泊松方程,我们需要将二维区域离散化成一个网格,并在每个网格点上计算泊松方程的解。假设我们有一个 $N \times N$ 的正方形区域,我们将其划分成 $N+1$ 个节点,即网格大小为 $h=1/N$。
泊松方程可以表示为:
$$
\nabla^2 u = f
$$
其中 $u$ 是要求解的函数,$f$ 是给定的函数。我们将上式离散化,得到:
$$
\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} + \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{h^2} = f_{i,j}
$$
将 $u_{i,j}$ 称作节点 $(i,j)$ 上的未知数,我们可以得到 $N^2$ 个线性方程组,形如:
$$
Au = b
$$
其中 $A$ 是一个 $N^2 \times N^2$ 的矩阵,$u$ 是 $N^2$ 维向量,$b$ 是 $N^2$ 维向量,每个元素表示对应节点上的值。
迦辽金方法的思路是先将所有节点赋一个初值,然后通过迭代不断更新每个节点的值,直到所有节点的值都收敛到一个稳定的值。具体迭代公式如下:
$$
u_{i,j}^{(k+1)} = \frac{1}{4} (u_{i-1,j}^{(k)} + u_{i+1,j}^{(k)} + u_{i,j-1}^{(k)} + u_{i,j+1}^{(k)}) - \frac{h^2}{4} f_{i,j}
$$
其中 $k$ 表示迭代次数,$u_{i,j}^{(k)}$ 表示第 $k$ 次迭代后节点 $(i,j)$ 上的值。初始时,我们可以将所有节点赋为 $0$。
下面是 Python 代码实现:
```python
import numpy as np
def solve_poisson_equation(N, f):
h = 1 / N
u = np.zeros((N+1, N+1))
# 迭代更新节点值
for k in range(10000):
for i in range(1, N):
for j in range(1, N):
u[i,j] = 0.25 * (u[i-1,j] + u[i+1,j] + u[i,j-1] + u[i,j+1]) - 0.25 * h**2 * f[i,j]
return u
```
其中,`N` 表示网格数量,`f` 是一个 $N \times N$ 的数组,表示泊松方程中的 $f$ 函数。函数返回一个 $N+1 \times N+1$ 的数组,表示求解后的 $u$ 函数。