伽辽金法求解一维泊松方程
时间: 2023-06-20 13:08:46 浏览: 115
伽辽金法(Galerkin method)是一种数值解微分方程的方法,可以用于求解一维泊松方程。一维泊松方程可以表示为:
$$
\frac{d^2 u}{dx^2} = f(x)
$$
其中 $u$ 是未知函数,$f(x)$ 是已知函数。为了使用伽辽金法求解此方程,我们需要将其离散化为一个有限元方程组。
首先,将区间 $[0, L]$ 划分为 $N$ 个小区间,每个区间的长度为 $h = \frac{L}{N}$。设 $u_i$ 表示 $x_i = ih$ 处的未知函数值。
接下来,我们需要选择一个试验函数空间和一个测试函数空间,这里我们选择分别为二次连续可微函数和一次连续可微函数。记试验函数空间为 $V$,测试函数空间为 $W$。
假设 $u(x)$ 可以表示为试验函数基函数 $\phi_i(x)$ 的线性组合:
$$
u(x) = \sum_{i=1}^N c_i \phi_i(x)
$$
其中 $c_i$ 是待定系数。将 $u(x)$ 带入泊松方程,得到:
$$
\sum_{i=1}^N c_i \frac{d^2 \phi_i}{dx^2} = f(x)
$$
对于任意的测试函数 $\psi_j(x)$,两边同时乘以 $\psi_j(x)$ 并在整个区间上积分,得到:
$$
\int_0^L \sum_{i=1}^N c_i \frac{d^2 \phi_i}{dx^2} \psi_j(x) dx = \int_0^L f(x) \psi_j(x) dx
$$
根据分部积分法,可将左边的积分化为:
$$
\sum_{i=1}^N c_i \int_0^L \frac{d^2 \phi_i}{dx^2} \psi_j(x) dx = \sum_{i=1}^N c_i \left[ \frac{d \phi_i}{dx} \psi_j(x) \right]_0^L - \sum_{i=1}^N c_i \int_0^L \frac{d \phi_i}{dx} \frac{d \psi_j}{dx} dx
$$
由于 $\phi_i(x)$ 在区间两端点处的一阶导数均为零,因此上式第一项为零。于是我们得到:
$$
\sum_{i=1}^N c_i \int_0^L \frac{d \phi_i}{dx} \frac{d \psi_j}{dx} dx = \int_0^L f(x) \psi_j(x) dx
$$
这是一个 $N$ 元线性方程组,可以使用矩阵求解方法得到系数 $c_i$,从而得到 $u(x)$ 的近似解。
需要注意的是,伽辽金法需要对试验函数和测试函数进行适当的选取,以便得到较为精确的解。此外,在实际求解中还需要考虑边界条件和数值稳定性等问题。