在所有的 N 位数中，有多少个数中有偶数个数字 3 ？ 由于结果可能很大，你只需要输出这个答案对 12345 取余的值。 编写C++程序，输入N，输出答案

这是一个组合计数的问题，我们需要计算所有 N 位数中，有偶数个数字 3 的数目，并将其除以 12345 后取余。对于每个位置，有两种情况：包含 3 或不包含 3。

- 如果一个 N 位数中有偶数个 3，那么可以在前 (N-1)/2 个位置选择其他数字（非 3），这些位置可以任意填入其他 9 个数字（除去 0 和 3）。所以这部分的数目是 9^(N-1)/2。
- 对于奇数个 3 的情况，在前 (N-1)/2 个位置同样可以选择其他 9 个数字，但最后一个位置必须是 3。因此这部分的数目是 (N-1)/2 * 9^(N-2)。

总的有偶数个 3 的数就是这两部分之和：(9^(N-1)/2) + ((N-1)/2 * 9^(N-2))。

为了简化计算并得到最终答案对 12345 取模的结果，我们可以直接将上述公式中涉及的数值转换成模 12345 的形式。这通常通过取模运算快速得出。

下面是一个简单的 C++ 程序示例：

#include <iostream>

// 计算给定数字 n 的阶乘模 12345
unsigned long long modFactorial(int n) {
    unsigned long long result = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        result *= i;
        result %= 12345; // 取模操作
    }
    return result;
}

// 计算有偶数个 3 的 N 位数的数量
unsigned long long countNumbersWithEvenThrees(int N) {
    int factorWithout3 = modFactorial(N - 1) / 2; // 前 (N-1)/2 位选择其他数字
    int factorWithOne3 = (N - 1) * modFactorial(N - 2); // 前 (N-1)/2 位选其他，最后一位是 3

    return (factorWithout3 + factorWithOne3) % 12345;
}

int main() {
    int N;
    std::cout << "Enter the number of digits N: ";
    std::cin >> N;

    unsigned long long result = countNumbersWithEvenThrees(N);
    std::cout << "The answer, modulo 12345, is: " << result << std::endl;

    return 0;
}

请注意，这个程序假设用户会输入有效的整数 N。在实际应用中，你可能需要添加错误检查。