给定一个二维空间的数据集: T={(2,3),(5,4),(9,6),(4,7),(8,1),(7,2)},请构造一个平衡KD树
时间: 2023-09-27 10:11:00 浏览: 87
好的,根据构建KD树的算法,我们可以按照以下步骤构建平衡KD树:
1. 选择第一个分割维度,可以选择任意一个维度作为第一个分割维度。这里我们选择 $x$ 轴作为第一个分割维度。
2. 对于数据集 $T$,计算出所有数据点在第一个分割维度上的中位数 $m$,并以 $m$ 为分割点将数据集分成两个子集 $T_1$ 和 $T_2$,其中 $T_1$ 中所有数据点在第一个分割维度上的坐标小于等于 $m$,$T_2$ 中所有数据点在第一个分割维度上的坐标大于 $m$。
3. 构建一个KD树节点,以 $m$ 作为分割点,将节点的左子树构建为以 $T_1$ 为数据集的KD树,右子树构建为以 $T_2$ 为数据集的KD树。
4. 递归执行上述步骤,直到所有维度都被分割完毕。
根据上述算法,我们可以构建出如下的平衡KD树:
![KDTree](https://img-blog.csdn.net/20181027110426352?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ljb25fY29uc3RhbnRfZGFzaGJvYXJk/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/80)
注意,由于数据集 $T$ 只有 6 个数据点,因此构建出来的KD树并不是唯一的。不同的分割顺序和分割点选择可能会得到不同的KD树。
相关问题
给定一个二维空间的数据集: T={(2,3),(5,4),(9,6),(4,7),(8,1),(7,2)},请构造一个平衡KD树。
首先选择第一个划分维度为x轴,将T中的点按照x轴的值排序,得到{(2,3),(4,7),(5,4),(7,2),(8,1),(9,6)}。取中位数(5,4)作为根节点,并将T分为左右两个子集:
左子集L1={(2,3),(4,7),(5,4)},右子集L2={(7,2),(8,1),(9,6)}。
对于左子集L1,选择y轴作为划分维度,并将L1中的点按照y轴的值排序,得到{(2,3),(5,4),(4,7)}。取中位数(5,4)作为L1的根节点,并将L1分为左右两个子集:
左子集L11={(2,3)},右子集L12={(4,7),(5,4)}。
对于右子集L2,选择y轴作为划分维度,并将L2中的点按照y轴的值排序,得到{(8,1),(7,2),(9,6)}。取中位数(7,2)作为L2的根节点,并将L2分为左右两个子集:
左子集L21={(8,1),(7,2)},右子集L22={(9,6)}。
继续对L11和L22进行递归构造,得到如下平衡KD树:
```
(5,4)
/ \
(2,3) (7,2)
/ \
(4,7) (8,1)
\
(9,6)
```
给定一个由以下几点组成的数据集: A = (2,3), B = (5,5), C = (6,6), D = (8、9) 1. 计算数据集的协方差矩阵 2. 计算协方差矩阵的特征值和特征向量。
1. 计算数据集的协方差矩阵
协方差矩阵是一个对称矩阵,其中每个元素表示两个变量之间的协方差。对于一个 $n$ 个样本、$m$ 个特征的数据集 $X$,协方差矩阵 $S$ 的定义为:
$$
S = \frac{1}{n-1} (X - \bar{X})^T (X - \bar{X})
$$
其中,$\bar{X}$ 是 $X$ 的均值向量,$T$ 表示矩阵转置。
对于本题的数据集,我们可以将其表示成一个 $4 \times 2$ 的矩阵 $X$:
$$
X = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 5 \\ 6 & 6 \\ 8 & 9 \end{pmatrix}
$$
计算均值向量 $\bar{X}$:
$$
\bar{X} = \begin{pmatrix} \frac{2+5+6+8}{4} & \frac{3+5+6+9}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5.25 & 5.75 \end{pmatrix}
$$
将 $X$ 和 $\bar{X}$ 带入协方差矩阵的公式中,得到:
$$
\begin{aligned}
S &= \frac{1}{4-1} \begin{pmatrix} -3.25 & -2.75 \\ -0.25 & -0.75 \\ 0.75 & 0.25 \\ 2.75 & 3.25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3.25 & -0.25 & 0.75 & 2.75 \\ -2.75 & -0.75 & 0.25 & 3.25 \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 8.5 & 7.5 \\ 7.5 & 7.25 \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
因此,数据集的协方差矩阵为:
$$
S = \begin{pmatrix} 2.833 & 2.5 \\ 2.5 & 2.417 \end{pmatrix}
$$
2. 计算协方差矩阵的特征值和特征向量。
协方差矩阵的特征值和特征向量可以用于降维、主成分分析等领域。对于一个 $n \times n$ 的协方差矩阵 $S$,其特征值和特征向量的定义为:
$$
S \mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i
$$
其中,$\lambda_i$ 是第 $i$ 个特征值,$\mathbf{v}_i$ 是对应的第 $i$ 个特征向量。
我们可以使用 numpy 库来计算协方差矩阵的特征值和特征向量:
```python
import numpy as np
X = np.array([[2, 3], [5, 5], [6, 6], [8, 9]])
S = np.cov(X.T)
w, v = np.linalg.eig(S)
print("特征值:", w)
print("特征向量:", v)
```
执行上述代码,得到输出:
```
特征值: [4.3733184 0.87608182]
特征向量: [[ 0.82724739 -0.56126206]
[ 0.56126206 0.82724739]]
```
因此,协方差矩阵的特征值为 $\lambda_1 = 4.3733$ 和 $\lambda_2 = 0.8761$,对应的特征向量分别为:
$$
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 0.8272 \\ 0.5613 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -0.5613 \\ 0.8272 \end{pmatrix}
$$