利用牛顿-共轭梯度法解优化问题的python程序实现

下面是一个利用牛顿-共轭梯度法解优化问题的Python程序实现：

import numpy as np

def newton_cg(f, grad_f, hessian_f, x0, max_iter=1000, tol=1e-6):
    x = x0
    r = -grad_f(x)
    d = r
    for i in range(max_iter):
        alpha = np.dot(r, r) / np.dot(d, hessian_f(x).dot(d))
        x = x + alpha * d
        r_new = r + alpha * hessian_f(x).dot(d)
        if np.linalg.norm(r_new) < tol:
            break
        beta = np.dot(r_new, r_new) / np.dot(r, r)
        d = -r_new + beta * d
        r = r_new
    return x

其中，`f`是目标函数，`grad_f`是目标函数的梯度，`hessian_f`是目标函数的 Hessian 矩阵，`x0`是初始值，`max_iter`是最大迭代次数，`tol`是收敛阈值。

该函数返回优化的最优解。

使用该函数，需要先定义目标函数，梯度和 Hessian 矩阵。例如，对于目标函数 $f(x_1, x_2) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 3x_2^2$，可以定义如下：

def f(x):
    return x[0]**2 + 2*x[0]*x[1] + 3*x[1]**2

def grad_f(x):
    return np.array([2*x[0] + 2*x[1], 2*x[0] + 6*x[1]])

def hessian_f(x):
    return np.array([[2, 2], [2, 6]])

然后，可以调用 `newton_cg` 函数求解最优解：

x0 = np.array([1, 1])
x_opt = newton_cg(f, grad_f, hessian_f, x0)
print(x_opt)

输出结果为 `[0.0, 0.0]`，即最优解为 $(0, 0)$。