共轭梯度 python

### Python 中实现共轭梯度法

共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种用于求解无约束最优化问题的迭代方法，尤其适合于对称正定线性系统的求解[^5]。该方法结合了最速下降法和牛顿法的优点，在较少的迭代次数内能够达到较高的精度。

下面是一个简单的 Python 实现示例：

import numpy as np

def conjugate_gradient(A, b, x0, tol=1e-10, max_iter=1000):
    """
    使用共轭梯度法求解 Ax=b
    
    参数:
        A (numpy.ndarray): 对称正定矩阵
        b (numpy.ndarray): 右端项向量
        x0 (numpy.ndarray): 初始猜测解
        tol (float): 收敛公差，默认为 1e-10
        max_iter (int): 最大迭代次数，默认为 1000
        
    返回:
        numpy.ndarray: 解向量 x
    """
    
    n = len(b)
    x = x0.copy()
    r = b - A @ x
    p = r.copy()
    
    for i in range(max_iter):
        Ap = A @ p
        alpha = np.dot(r, r) / np.dot(p, Ap)
        
        x += alpha * p
        r_new = r - alpha * Ap
        
        if np.linalg.norm(r_new) < tol:
            break
            
        beta = np.dot(r_new, r_new) / np.dot(r, r)
        p = r_new + beta * p
        r = r_new
    
    return x

# 测试例子
A = np.array([[4, 1], [1, 3]], dtype=float)
b = np.array([1, 2], dtype=float)
x0 = np.zeros_like(b)

solution = conjugate_gradient(A, b, x0)
print("Solution:", solution)

此代码实现了基本的共轭梯度算法来求解给定系数矩阵 \(A\) 和右端项 \(b\) 的线性方程组 \(Ax=b\)[^1]。通过调整参数 `tol` 和 `max_iter` 来控制收敛条件以及最大允许的迭代次数。