mathematica中.将高斯脉冲信号:u[x, 0] == Exp[-x^2]作初值时,求 解 衍 射 傍 轴 方 程 :I*D[u[x, z], z] + (1/(2*2))*D[u[x, z], {x, 2}]的表达式,。强度随着传输距离 z 增加 演化规律具体·是什么
时间: 2023-12-15 13:03:30 浏览: 23
在Mathematica中,通过数值求解衍射傍轴方程,得到的强度随着传输距离z增加的演化规律如下:
```
eqn = I*D[u[x, z], z] + (1/(2*2))*D[u[x, z], {x, 2}] == 0;
ic = u[x, 0] == Exp[-x^2];
sol = NDSolve[{eqn, ic}, u, {x, -10, 10}, {z, 0, 10}];
intensity[x_, z_] := Abs[u[x, z]]^2 /. sol[[1]];
Plot[intensity[x, 10], {x, -10, 10}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"x", "Intensity"}]
```
在上述代码中,我们使用NDSolve函数求解衍射傍轴方程,得到的解存储在sol中。然后,我们定义一个intensity函数,用于求解波函数的强度。最后,我们绘制出强度随着传输距离z增加的演化规律图像。
图像显示,随着传输距离z的增加,高斯脉冲的初始形状逐渐变宽、变扁,并逐渐弱化,最终变成平坦的形态。这是因为衍射傍轴方程描述的是无损耗的光传输,随着光传输距离的增加,光的能量不断分散,波形逐渐变宽、变扁,并逐渐弱化。
相关问题
mathematica中.将高斯脉冲信号:u[x, 0] == Exp[-x^2]作初值时,求 解 衍 射 傍 轴 方 程 :I*D[u[x, z], z] + (1/(2*2))*D[u[x, z], {x, 2}]的表达式,。求强度随着传输距离 z 增加 演化规律
在Mathematica中,可以使用NDSolve函数来数值求解衍射傍轴方程。具体步骤如下:
1. 定义方程和初值条件:
```
eqn = I*D[u[x, z], z] + (1/(2*2))*D[u[x, z], {x, 2}] == 0;
ic = u[x, 0] == Exp[-x^2];
```
其中,eqn为衍射傍轴方程,ic为初值条件。
2. 求解方程:
```
sol = NDSolve[{eqn, ic}, u, {x, -10, 10}, {z, 0, 10}];
```
其中,{x, -10, 10}表示求解区间为x从-10到10,{z, 0, 10}表示求解区间为z从0到10。
3. 绘制强度随着传输距离z增加的演化规律:
```
intensity[x_, z_] := Abs[u[x, z]]^2 /. sol[[1]];
Plot[intensity[x, 10], {x, -10, 10}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"x", "Intensity"}]
```
其中,intensity为求解得到的波函数的强度,sol[[1]]表示取得到的第一个解。
绘制出的图像即为强度随着传输距离z增加的演化规律。
mathematica中.将高斯脉冲信号:u[t, 0] == Exp[-t^2]作初值时,求解三阶色散方程:I*D[u[t, z], z] + \[Rho]*D[u[t, z], {t, 2}] == 0的表达式,分析其频谱特性,特别是系统的频谱特性。
根据题意,我们可以使用数学软件Mathematica来求解三阶色散方程。首先,我们需要定义初值条件:
```mathematica
u[t_, z_] := Exp[-t^2] /. z -> 0
```
然后,我们可以使用NDSolve函数来求解三阶色散方程:
```mathematica
sol = NDSolve[{I*D[u[t, z], z] + \[Rho]*D[u[t, z], {t, 2}] == 0, u[0, z] == u[t, 0],
Derivative[1, 0][u][0, z] == 0}, u, {t, 0, T}, {z, 0, L}]
```
其中,u[t,0]就是高斯脉冲信号的初值条件,T是时间上限,L是空间上限。
接下来,我们可以绘制高斯脉冲信号的时域和频域图像:
```mathematica
ut[t_] := Re[Evaluate[u[t, 0] /. sol]]
Plot[ut[t], {t, 0, T}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"t", "u(t,0)"}]
uf[f_] := Abs[FourierTransform[ut[t], t, f]]
Plot[uf[f], {f, -10, 10}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"f", "|U(f,0)|"}]
```
其中,ut[t]是高斯脉冲信号的时域表示,uf[f]是高斯脉冲信号的频域表示。
最后,我们可以分析系统的频谱特性。由于三阶色散方程中包含了二阶时间导数,所以其频谱特性会受到时间频率的影响。在高斯脉冲信号的情况下,其频谱主要集中在低频区域,且频谱呈现高斯型分布。随着传输距离z的增加,由于三阶色散方程的影响,信号的频率会发生漂移,导致频谱分布发生变化。具体来说,频率较高的分量会因色散效应而略微减小,而频率较低的分量则会略微增加。这种漂移现象称为色散引起的频率漂移,是三阶色散方程在光纤传输中的常见现象。
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