设集合A={1,2,3,6},*是A上的运算，定义x*y=x与y的最小公倍数，则A上关于*运算的单位元是

单位元是满足对于任意元素x，都有x*单位元=单位元*x=x的元素。在这个问题中，我们需要找到A集合上的一个元素e，使得对于任意的x∈A，都有x*e=e*x=x。

根据最小公倍数的定义，我们可以得到以下结论：

- 1与任意自然数n的最小公倍数是n。
- 2与任意自然数n的最小公倍数是2n，除非n是奇数且大于1，此时最小公倍数是4n。
- 3与任意自然数n的最小公倍数是3n，除非n是3的倍数，此时最小公倍数是n。

根据以上结论，我们可以得到：

- 1*1=1，1*2=2，1*3=3，1*6=6
- 2*1=2，2*2=2*3=2*6=6
- 3*1=3，3*2=6，3*3=3*6=6
- 6*1=6

因此，单位元是1。

相关问题

设a={x|x属于r, x不等于0,1}，在a上定义6个函数， f1(x)=x, f2(x)=x-1, f3(x)=1-x, f4(x)=(1-x)-1, f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)= x(x-1)-1， *运算为函数的复合运算， 求函数的逆元。

题目描述：定义一个集合a={x|x属于r, x不等于0,1}，在a上定出6个函数，f1(x)=x, f2(x)=x-1, f3(x)=1-x, f4(x)=(1-x)-1, f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1，运算为函数的复合运算，求函数的逆元。

解题思路：首先看到题目中给的6个函数，我们可以发现这6个函数都是一次式（x的次数不超过2），所以我们可以尝试用一次变换将它们写为y=ax+b的形式，以便方便进行复合运算。

f1(x)=x，本身就是一次函数，可以直接写为y=x；
f2(x)=x-1，将其变形为y=x-1；
f3(x)=1-x，变形为y=-x+1；
f4(x)=(1-x)-1，简化得到y=x/(x-1)；
f5(x)=(x-1)x-1，乘开得到y=x^2-x-1；
f6(x)=x(x-1)-1，乘开得到y=x^2-x-1。

然后我们可以将这些函数的符号都改为y来表示，可以得到：

f1(y)=y；
f2(y)=y+1；
f3(y)=1-y；
f4(y)=y/(y-1)；
f5(y)=y^2-y-1；
f6(y)=y^2-y-1。

然后我们来求这些函数的逆吧。先来看一下f1、f2、f3三个函数，它们的逆函数很好求：

f1逆 = f1 = y；
f2逆 = f2(f1逆) = f2(y) = y+1；
f3逆 = f3(f1逆) = f3(y) = 1-y。

接下来，根据函数逆的定义，我们需要解出f4、f5、f6三个函数的逆函数。具体来说，对于y=f4(x)、y=f5(x)和y=f6(x)，我们需要找到它们的x=f4逆(y)、x=f5逆(y)、x=f6逆(y)。

对于f4(y)=y/(y-1)，我们可以用分式解方程的方法解出它的逆函数：

如果f4逆存在，那么一定有y=f4(f4逆(y))=f4逆(y)/(f4逆(y)-1)，也就是：

f4逆(y)/(f4逆(y)-1) = y。

两边通分，移项，我们可以得到：

f4逆(y) = y/(y-1)。

所以f4逆(y) = f4(y) = y/(y-1)。

对于f5(y)=y^2-y-1，我们可以根据二次函数的求解公式解出它的逆函数：

如果f5逆存在，那么一定有y=f5(f5逆(y))=(f5逆(y))^2-(f5逆(y))-1，也就是：

(f5逆(y))^2-(f5逆(y))-y-1=0。

解这个方程，我们可以得到：

$$f5^{-1}(y)=\frac{1+\sqrt{5+4y}}{2}\ or\ \frac{1-\sqrt{5+4y}}{2}$$

可以发现，这个解式中的根号里是一个常数加上4y，所以只要y不等于-5/4，就有两个解，分别对应以上两个式子。特别地，当y等于-5/4时，两个解重合，即f5逆(y)=(-1+√5)/2。

对于f6(y)=y^2-y-1，注意到f5和f6的式子是完全一样的，所以我们也可以用相同的方法得到f6的逆函数：

如果f6逆存在，那么一定有y=f6(f6逆(y))=(f6逆(y))^2-(f6逆(y))-1，也就是：

(f6逆(y))^2-(f6逆(y))-y-1=0。

同样是一个二次函数，我们可以得到：

$$f6^{-1}(y)=\frac{1+\sqrt{5+4y}}{2}\ or\ \frac{1-\sqrt{5+4y}}{2}$$

其中只有当y等于(-1-√5)/2时，两个解重合，即f6逆(y)=f5逆(y)=φ，称为黄金分割比，它是一个无理数，约等于1.61803398875。

综上，我们可以将函数的逆元统一写成一张表：

f1逆(y)=y；
f2逆(y)=y+1；
f3逆(y)=1-y；
f4逆(y)=y/(y-1)；
f5逆(y)=(-1+√5)/2 或 (1+√5)/2；
f6逆(y)=(-1+√5)/2 或 (1+√5)/2（当y不等于(-1-√5)/2时）。

最后需要注意的一点是，题目中的函数定义域只包括不等于0和1的实数，所以我们在解逆函数的时候，也要注意来保证定义域的合法性。比如在f4求逆的时候，我们要确保其函数值y不等于0和1，才能保证其逆函数的定义域在a集合中。

对于自然数集N,定义如下运算:x*y=x+y,x#. 是否为半群。y=xʸ。。试问<N,*>、<N,#>

首先，半群是指满足结合律的封闭二元运算集合。我们逐一检验一下。

对于<N,*>，我们需要检验集合中的任意两个元素x、y的运算结果是否也属于集合中。根据定义，x*y=x+y。因为自然数集合N对于加法运算是封闭的，所以x+y也一定属于N。因此，<N,*>是一个半群。

对于<N,#>，我们同样需要检验集合中的任意两个元素x、y的运算结果是否也属于集合中。根据定义，x#y=x^y。因为自然数集合N对于乘方运算不一定封闭，例如2^3=8不属于N，所以<N,#>不是一个半群。