分支限界法解决0-1背包问题算法思想、效率分析、python代码以及测试案例

算法思想：

分支限界法是一种在求解问题的所有可行解中，搜索最优解的算法。该算法采用广度优先搜索策略，对于每个节点，将其扩展为若干个子节点，计算子节点的上界或者下界，根据上界或者下界的大小，将子节点按照某种顺序排列，将最有可能包含最优解的子节点放在最前面，依次搜索扩展子节点，直到找到最优解为止。

对于0-1背包问题，分支限界法可以采用贪心法计算上界，即将背包容量按照性价比从大到小排序，然后依次将物品放入背包中，直到放不下为止。对于下界的计算，可以将剩余物品的价值全部加到当前背包的价值中，这样得到的价值就是当前背包能够得到的最大价值下界。

效率分析：

分支限界法的时间复杂度取决于搜索树的深度和每个节点的扩展子节点数目。对于0-1背包问题，搜索树的深度最多为n，每个节点最多扩展两个子节点，因此时间复杂度为O(2^n)。

Python代码：

class Node:
    def __init__(self, level, weight, value):
        self.level = level
        self.weight = weight
        self.value = value
        self.bound = 0

def bound(node, n, W, w, v):
    if node.weight >= W:
        return 0
    else:
        max_bound = node.value
        j = node.level + 1
        totweight = node.weight
        while j < n and totweight + w[j] <= W:
            max_bound += v[j]
            totweight += w[j]
            j += 1
        if j < n:
            max_bound += (W - totweight) * v[j] / w[j]
        return max_bound

def knapsack_bfs(n, W, w, v):
    queue = []
    root = Node(-1, 0, 0)
    queue.append(root)
    max_value = 0
    while len(queue) > 0:
        node = queue.pop(0)
        if node.level == n - 1:
            continue
        left = Node(node.level + 1, node.weight + w[node.level + 1], node.value + v[node.level + 1])
        if left.weight <= W and left.value > max_value:
            max_value = left.value
        left.bound = bound(left, n, W, w, v)
        if left.bound > max_value:
            queue.append(left)
        right = Node(node.level + 1, node.weight, node.value)
        right.bound = bound(right, n, W, w, v)
        if right.bound > max_value:
            queue.append(right)
    return max_value

# 测试案例
n = 5
W = 10
w = [2, 2, 6, 5, 4]
v = [6, 3, 5, 4, 6]
print(knapsack_bfs(n, W, w, v)) # 输出 15

测试案例：

我们使用如下的测试案例来验证算法的正确性：

n = 5
W = 10
w = [2, 2, 6, 5, 4]
v = [6, 3, 5, 4, 6]

其中n表示物品的个数，W表示背包的容量，w表示物品的重量，v表示物品的价值。该测试案例中的最优解为15，即将第1、2、5个物品放入背包中。

运行代码后可以得到正确的结果15。