编写一个函数 int inverse(int p, int a)，输入模 p 乘法群 Zp*={1, 2, 3, …, p-1}中的 任何元素 a，实现扩展欧几里得定理，函数能够输出 a 的乘法逆元。

编写一个名为 `inverse` 的函数，用于计算给定整数 `a` 在模 `p` 下的乘法逆元，可以遵循以下步骤，利用扩展欧几里得算法。这个算法不仅找到两个数的最大公约数，还返回它们的贝祖等式解，即 `(x, y)` 满足 `ax + py = gcd(a, p) = 1`。

// C++ 代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

// 计算最大公约数 (GCD)
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

// 扩展欧几里得算法求逆元
pair<int, int> extendedEuclidean(int a, int p) {
    // 初始化 x, y 和 r
    int x = 0, y = 1, r = a; // r 相当于 a
    while (r != 0) {
        int q = p / r;
        pair<int, int> temp(x, y); // 保存中间结果
        x -= q * r;   // 更新 x
        y -= q * r;   // 更新 y
        r = p % r;    // 更新 r，相当于 p = r
        p = r;       // 更新原值为新的 r
    }
    return make_pair(x, y); // 返回逆元和 GCD
}

// 函数 inverse 实现
int inverse(int p, int a) {
    auto result = extendedEuclidean(a, p);
    if (result.first == 1) { // 如果 GCD 等于 1，则 x 是 a 的逆元
        return result.second % p;
    } else {
        throw runtime_error("a is not invertible modulo p"); // 如果 a 无逆元，抛出异常
    }
}

int main() {
    try {
        int p, a;
        cout << "Enter modulus p and element a: ";
        cin >> p >> a;
        int inv = inverse(p, a);
        cout << "The multiplicative inverse of " << a << " modulo " << p << " is: " << inv << endl;
    } catch (const exception& e) {
        cerr << "Error: " << e.what() << endl;
    }
    return 0;
}

在这个函数中，用户需要输入 `p` 和 `a`，然后程序会计算并输出 `a` 在模 `p` 下的逆元。如果 `a` 不能在 `Z_p*` 中找到逆元（如 `gcd(a, p) ≠ 1`），则函数将抛出异常。