softmax回归梯度下降算法

为了介绍softmax回归梯度下降算法，我们需要先了解softmax回归和梯度下降算法。

softmax回归是一种多分类模型，它通过将输入特征与权重相乘并加上偏置项，然后将结果输入到softmax函数中，将输出映射到多维向量，从而得到每个类别的概率。softmax函数的公式如下：

$$
\sigma(z)_j = \frac{e^{z_j}}{\sum_{k=1}^{K}e^{z_k}}
$$

其中，$z$是输入特征与权重相乘并加上偏置项的结果，$K$是类别数，$j$表示第$j$个类别。

梯度下降算法是一种优化算法，它通过迭代更新模型参数，使得损失函数最小化。梯度下降算法的基本思想是：计算损失函数对模型参数的偏导数，然后按照负梯度方向更新模型参数，直到达到收敛条件。

softmax回归梯度下降算法的步骤如下：

1.初始化模型参数，包括权重和偏置项。

2.计算模型输出，即将输入特征与权重相乘并加上偏置项，然后将结果输入到softmax函数中，得到每个类别的概率。

3.计算损失函数，通常使用交叉熵损失函数。

4.计算损失函数对模型参数的偏导数，即梯度。

5.按照负梯度方向更新模型参数。

6.重复步骤2-5，直到达到收敛条件。

下面是softmax回归梯度下降算法的Python代码示例：

import numpy as np

# 初始化模型参数
def init_params(dim_in, dim_out):
    W = np.random.randn(dim_in, dim_out)
    b = np.zeros(dim_out)
    return W, b

# softmax函数
def softmax(z):
    return np.exp(z) / np.sum(np.exp(z), axis=1, keepdims=True)

# 计算交叉熵损失函数
def cross_entropy_loss(y_pred, y_true):
    m = y_pred.shape[0]
    loss = -np.sum(y_true * np.log(y_pred)) / m
    return loss

# 计算梯度
def compute_gradient(X, y_true, y_pred):
    m = X.shape[0]
    dW = np.dot(X.T, y_pred - y_true) / m
    db = np.mean(y_pred - y_true, axis=0)
    return dW, db

# 更新模型参数
def update_params(W, b, dW, db, learning_rate):
    W -= learning_rate * dW
    b -= learning_rate * db
    return W, b

# softmax回归梯度下降算法
def softmax_regression(X, y_true, num_classes, num_iterations, learning_rate):
    m, n = X.shape
    W, b = init_params(n, num_classes)
    for i in range(num_iterations):
        # 计算模型输出
        z = np.dot(X, W) + b
        y_pred = softmax(z)
        # 计算损失函数
        loss = cross_entropy_loss(y_pred, y_true)
        # 计算梯度
        dW, db = compute_gradient(X, y_true, y_pred)
        # 更新模型参数
        W, b = update_params(W, b, dW, db, learning_rate)
        if i % 100 == 0:
            print("Iteration %d, loss = %f" % (i, loss))
    return W, b

# 测试
X = np.random.randn(100, 10)
y_true = np.random.randint(0, 3, size=(100, 1))
y_true = np.eye(3)[y_true.reshape(-1)]
W, b = softmax_regression(X, y_true, 3, 1000, 0.1)