softmax梯度下降算法

根据引用[2]中的描述，softmax回归是一种多分类算法，它使用softmax函数将输出映射到多维向量。在训练过程中，我们需要使用梯度下降算法来最小化损失函数。下面是softmax梯度下降算法的步骤：

1.初始化权重矩阵W和偏置向量b。

2.对于每个训练样本，计算其预测输出y_pred，即将输入x乘以权重矩阵W并加上偏置向量b，然后将结果输入softmax函数得到多维向量。

3.计算损失函数L，通常使用交叉熵损失函数。

4.计算损失函数对权重矩阵W和偏置向量b的梯度，即反向传播。

5.使用梯度下降算法更新权重矩阵W和偏置向量b，即W = W - learning_rate * dW，b = b - learning_rate * db，其中learning_rate是学习率，dW和db是损失函数对W和b的梯度。

6.重复步骤2到步骤5，直到达到停止条件，例如达到最大迭代次数或损失函数的变化量小于某个阈值。

下面是一个使用Python实现softmax梯度下降算法的例子：

import numpy as np

# 定义softmax函数
def softmax(x):
    exp_x = np.exp(x)
    return exp_x / np.sum(exp_x, axis=1, keepdims=True)

# 定义交叉熵损失函数
def cross_entropy_loss(y_pred, y_true):
    m = y_pred.shape[0]
    log_likelihood = -np.log(y_pred[range(m), y_true])
    loss = np.sum(log_likelihood) / m
    return loss

# 定义softmax梯度下降算法
def softmax_gradient_descent(X, y_true, num_classes, learning_rate, num_iterations):
    # 初始化权重矩阵W和偏置向量b
    m, n = X.shape
    W = np.zeros((n, num_classes))
    b = np.zeros((1, num_classes))

    # 梯度下降迭代
    for i in range(num_iterations):
        # 计算预测输出y_pred
        z = np.dot(X, W) + b
        y_pred = softmax(z)

        # 计算损失函数L
        loss = cross_entropy_loss(y_pred, y_true)

        # 计算梯度
        dW = np.dot(X.T, (y_pred - y_true))
        db = np.sum(y_pred - y_true, axis=0, keepdims=True)

        # 更新权重矩阵W和偏置向量b
        W -= learning_rate * dW
        b -= learning_rate * db

        # 打印损失函数
        if i % 100 == 0:
            print("Iteration %d, loss = %f" % (i, loss))

    return W, b

# 测试
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]])
y_true = np.array([0, 1, 2, 1])
num_classes = 3
learning_rate = 0.1
num_iterations = 1000
W, b = softmax_gradient_descent(X, y_true, num_classes, learning_rate, num_iterations)
print("W = ", W)
print("b = ", b)